Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.1.3. Векторное представление сигналов и шума

Рассмотрим геометрическое или векторное представление, приемлемое как для узкополосных, так и полосовых сигналов. Определим N-мерное ортогональное пространство как пространство, определяемое набором N линейно независимых функций , именуемых базисными. Любая функция этого пространства может выражаться через линейную комбинацию базисных функций, которые должны удовлетворять условию

(3.8, а)

где оператор

(3.8, б)

называется дельта-функцией Кронекера и определяется формулой (3.8,б). При ненулевых константах пространство именуется ортогональным. Если базисные функции нормированы так, что все , пространство называется ортонормированным. Основное условие ортогональности можно сформулировать следующим образом: каждая функция набора базисных функций должна быть независимой от остальных функций набора. Каждая функция не должна интерферировать с другими функциями в процессе обнаружения. С геометрической точки зрения все функции взаимно перпендикулярны. Пример подобного пространства с N=3 показан на рис. 3.3, где взаимно перпендикулярные оси обозначены , и . Если соответствует действительному компоненту напряжения или тока сигнала, нормированному на сопротивление 1 Ом, то, используя формулы (1.5) и (3.8), получаем следующее выражение для нормированной энергии в джоулях,

переносимой сигналом за Т секунд.

Рис. 3.3. Векторное представление сигнала

(3.9)

Одной из причин нашего внимания к ортогональному сигнальному пространству является то, что в нем проще всего определяется Евклидова мера расстояния, используемая в процессе обнаружения. Стоит отметить, что даже если волны, переносящие сигналы, не формируют подобного пространства, они могут преобразовываться в линейную комбинацию ортогональных сигналов. Можно показать [3], что произвольный конечный набор сигналов , где каждый элемент множества физически реализуем и имеет длительность Т, можно выразить как линейную комбинацию N ортогональных сигналов , ,..., , где , так, что

Эти соотношения можно записать в более компактной форме.

(3.10)

,

где

(3.11)

- это коэффициент при разложения сигнала по базисным функциям. Вид базиса не задается; эти сигналы выбираются с точки зрения удобства и зависят от формы волн передачи сигналов. Набор таких волн можно рассматривать как набор векторов . Если, например, N=3, то сигналу

,

соответствует вектор , который можно изобразить как точку в трехмерном Евклидовом пространстве с координатами , как показано на рис. 3.3. Взаимная ориентация векторов сигналов описывает связь между сигналами (относительно их фаз или частот), а амплитуда каждого вектора набора является мерой энергии сигнала, перенесенной в течение времени передачи символа. Вообще, после выбора набора из N ортогональных функций, каждый из переданных сигналов полностью определяется вектором его коэффициентов.

(3.12)

В дальнейшем для отображения сигналов в векторной форме будем использовать запись или . На рис. 3.4 в векторной форме (которая в данном случае является очень удобной) показан процесс обнаружения. Векторы и представляют сигналы-прототипы, или опорные сигналы, принадлежащие набору из М сигналов, . Приемник априори знает местонахождение в пространстве сигналов всех векторов-прототипов, принадлежащих М-мерному множеству. В процессе передачи каждый сигнал подвергается воздействию шумов, так что в действительности принимается искаженная версия исходного сигнала (например, или ), где - вектор помех. Будем считать, что помехи являются аддитивными и имеют гауссово распределение; следовательно, результирующее распределение возможных принимаемых сигналов - это кластер или облако точек вокруг и . Кластер сгущается к центру и разрежается с увеличением расстояния от прототипа. Стрелочка с пометкой «» представляет вектор сигнала, который поступает в приемник в течение определенного интервала передачи символа. Задача приемника - определить, на какой из прототипов М-мерного множества сигнал «похож» больше. Мерой «сходства» может быть расстояние. Приемник или детектор должен решить, какой из прототипов сигнального пространства ближе к принятому вектору . Анализ всех схем демодуляции или обнаружения включает использование понятия расстояние между принятым сигналом и набором возможных переданных сигналов. Детектор должен следовать одному простому правилу: определять к тому же классу, к которому принадлежит его ближайший сосед (ближайший вектор-прототип).

Рис.3.4. Сигналы и шум в трехмерном векторном пространстве



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.