Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.2.1.1. Вероятность ошибки

В процессе принятия бинарного решения, показанном на рис. 3.2, существует две возможности возникновения ошибки. Ошибка появится при передаче , если вследствие шума канала уровень переданного сигнала упадет ниже . Вероятность этого равна следующему.

(3.34)

Эта возможность показана заштрихованной областью слева от (рис. 3.2). Подобным образом ошибка появляется при передаче , если вследствие шума канала уровень переданного сигнала поднимется выше . Вероятность этого равна следующему.

(3.35)

Суммарная вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность возникновения ошибочного бита можно выразить следующим образом.

(3.36)

Объединяя формулы (3.34)-(3.36), получаем

(3.37,а)

или, что равносильно,

(3.37,б)

Иными словами, при передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы ; или при передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы . Для равных априорных вероятностей (т.е. ) имеем следующее.

(3.38)

Используя симметричность плотностей вероятности, получаем следующее.

(3.39)

Вероятность появления ошибочного бита, , численно равна площади под «хвостом» любой функции правдоподобия, или , «заползающим» на «неправильную» сторону порога. Таким образом, для вычисления мы можем проинтегрировать

от до или - от до .

(3.40)

Здесь - оптимальный порог из уравнения (3.32). Заменяя правдоподобие его гауссовым эквивалентом из формулы (3.6), имеем

(3.41)

где - дисперсия шума вне коррелятора.

Сделаем замену . Тогда и

(3.42)

Здесь называется гауссовым интегралом ошибок и часто используется при описании вероятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция следующим образом.

(3.43)

Отметим, что гауссов интеграл ошибок может определяться несколькими способами (см. приложение Б); впрочем, все определения одинаково пригодны для описания вероятности ошибки при гауссовом шуме. нельзя вычислить в аналитическом виде. В табл. Б.1 она представлена в форме таблицы. Хорошие аппроксимации функции через более простые функции можно найти в работе [5]. Вот одна из таких аппроксимаций, справедливая для .

(3.44)

Итак, мы оптимизировали (в смысле минимизации ) порог , но не оптимизировали принимающий фильтр в блоке 1 (рис. 3.1). Далее нашей целью является оптимизация этого фильтра путем максимизации аргумента в формуле (3.42).



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.