Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.2. Обнаружение двоичных сигналов в гауссовом шуме

3.2.1. Критерий максимального правдоподобия приема сигналов

Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (рис. 3.1), описывался формулой (3.7) следующим образом.

Популярный критерий выбора порога для принятия двоичного решения в выражении (3.7) основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минимального значения ошибки начинается с записи связи отношения плотностей условных вероятностей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности также называется правдоподобием , формулировка

(3.31)

есть критерием отношения правдоподобий (см. приложение Б). В этом неравенстве и являются априорными вероятностями передачи сигналов и , a и - две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки (формула (3.31)) гласит, что если отношение правдоподобий больше отношения априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу .

В разделе Б.3.1 показано, что при и симметричных правдоподобиях подстановка формул (3.5) и (3.6) в формулу (3.31) дает

, (3.32)

где - сигнальный компонент при передаче , a - сигнальный компонент при передаче . Порог , представленный выражением , - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием минимальной ошибки.

Для равновероятных сигналов оптимальный порог , как показано на рис. 3.2, проходит через пересечение функций правдоподобия. Следовательно, используя формулу (3.32), видим, что этап принятия решения заключается в эффективном выборе гипотезы, соответствующей сигналу с максимальным правдоподобием. Пусть, например, значение выборки принятого сигнала равно , а правдоподобия того, что принадлежит к одному из двух классов или , отличны от нуля. В этом случае критерий принятия решения можно рассматривать как сравнение правдоподобий и . Более вероятное значение переданного сигнала соответствует наибольшей плотности вероятности. Другими словами, детектор выбирает , если

(3.33)

В противном случае детектор выбирает . Детектор, минимизирующий вероятность ошибки (для классов равновероятных сигналов), называется детектором максимального правдоподобия.

Из рис. 3.2 можно видеть, что выражение (3.32) - это «метод здравого смысла» принятия решения при наличии статистических знаний о классах. Имея на выходе детектора значение , видим (рис. 3.2), что пересекается с графиком правдоподобия в точке и с графиком правдоподобия в точке . Какое наиболее разумное решение должен принять детектор? В описанном случае наиболее здравым является выбор класса , имеющего большее правдоподобие. Если бы пример был М-мерным, а не бинарным, всего существовало бы М функций правдоподобия, представляющих М классов сигналов, к которым может принадлежать принятый сигнал. Решение по принципу максимального правдоподобия в этом случае представляло бы выбор класса, имеющего самое большое правдоподобие из М возможных. (Основы теории принятия решений даются в приложении Б.)



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.