Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.2.2. Согласованный фильтр

Согласованный фильтр (matched filter) - это линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум. Предположим, что на вход линейного, инвариантного относительно времени (принимающего) фильтра, за которым следует устройство дискретизации (рис. 3.1), подается известный сигнал плюс шум AWGN . В момент времени сигнал на выходе устройства дискретизации состоит из компонента сигнала , и компонента шума . Дисперсия шума на выходе (средняя мощность шума) записывается как , так что отношение мгновенной мощности шума к средней мощности шума, , в момент вне устройства дискретизации на этапе 1 равно следующему.

(3.45)

Нам нужно найти передаточную функцию фильтра с максимальным отношением . Сигнал на выходе фильтра можно выразить через передаточную функцию фильтра (до оптимизации) и Фурье-образ сигнала на входе

, (3.46)

где - Фурье-образ сигнала на входе, . Если двусторонняя спектральная плотность мощности шума на входе равна Вт/Гц, то с помощью формул (1.19) и (1.53) мощность шума на выходе можно записать следующим образом.

(3.47)

Объединяя формулы (3.45) и (3.47), получаем выражение для .

(3.48)

Найдем теперь значение , при котором достигает максимума. Для этого нам понадобится неравенство Шварца, одна из форм записи которого представлена ниже.

(3.49)

Равенство достигается при , где - произвольная константа, а знак «*» обозначает комплексно сопряженное значение. Если отождествить с и с , можем записать следующее.

(3.50)

Подстановка в выражение (3.48) дает

(3.51)

или

, (3.52)

где энергия Е входящего сигнала равна следующему.

(3.53)

Следовательно, максимальный выход зависит от энергии входящего сигнала и спектральной плотности мощности шума, но не от конкретной формы сигнала.

Равенство в выражении (3.52) получается только при использовании оптимальной передаточной функции фильтра .

(3.54)

или

(3.55)

Поскольку - вещественный сигнал, с помощью формул (А.29) и (А.31) можно записать следующее.

(3.56)

Итак, импульсная характеристика фильтра, дающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе, является зеркальным отображением сигнала сообщения , запаздывающим на время передачи символа Т. Отметим, что задержка в Т секунд делает уравнение (3.56) причинным, т.е. запаздывание на Т секунд делает функцией положительного времени в промежутке , Без задержки в Т секунд отклик нереализуем, поскольку в этом случае он является функцией отрицательного времени.



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.