Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.2.4. Оптимизация вероятности ошибки

Для оптимизации (минимизации) в среде канала и приемника с шумом AWGN, показанных на рис. 3.1, нужно выбрать оптимальный принимающий фильтр на этапе 1 и оптимальный порог принятия решения на этапе 2. Для двоичного случая оптимальный порог принятия решения уже выбран и дается формулой (3.32), а в формуле (3.42) показано, что вероятность ошибки при таком пороге равна . Для минимального в общем случае необходимо выбрать фильтр (согласованный) с максимальным аргументом функции . Следовательно, нужно определить максимальное , что равносильно максимальному

, (3.60)

где - разность желательных компонентов сигнала на выходе фильтра в момент , а квадрат этого разностного сигнала представляет его мгновенную мощность. В разделе 3.2.2 описывался согласованный фильтр с максимальным отношением сигнал/шум (signal-to-noise ratio - SNR) для данного известного сигнала. Здесь мы решаем вопрос двоичной передачи сигналов и ищем оптимальный фильтр с максимальной разностью двух возможных выходных сигналов. В выводе, приведенном в уравнениях (3.45)-(3.52), было показано, что согласованный фильтр дает на выходе максимально возможное отношение SNR, равное . Допустим, что фильтр согласовывает входящий разностный сигнал . Следовательно, в момент можем записать отношение SNR на выходе.

, (3.61)

где - двусторонняя спектральная плотность мощности шума на входе фильтра и

(3.62)

является энергией разностного сигнала на входе фильтра. Отметим, что уравнение (3.61) не представляет отношения SNR для какой-то отдельной передачи, или . Это отношение дает метрику разности сигналов на выходе фильтра. Максимизируя выходное отношение SNR, как показано в уравнении (3.61), согласованный фильтр обеспечивает максимальное расстояние (нормированное на шум) между двумя возможными выходами – сигналами и .

Далее, объединяя уравнения (3.42) и (3.61), получаем следующее.

(3.63)

Для согласованного фильтра уравнение (3.63) является важным промежуточным результатом, включающим энергию разностного сигнала на входе фильтра. Из этого уравнения можно вывести более общее соотношение для энергии принятого бита. Для начала определим временной коэффициент взаимной корреляции , который будем использовать в качестве меры подобия двух сигналов и . Имеем

(3.64,а)

и

(3.64,б)

где . Формула (3.64,а) - это классический математический способ выражения корреляции. Впрочем, если рассматривать и как векторы сигналов и , то более удобным представлением является формула (3.64,6). Векторное представление позволяет получать удобные графические изображения. Векторы и разделены углом ; при малом угле векторы достаточно подобны (сильно коррелируют), а при больших углах они отличаются. Косинус угла дает ту же нормированную метрику корреляции, что и формула (3.64,а).

Расписывая выражение (3.62), получаем следующее.

(3.65)

Напомним, что два первых члена формулы (3.65) представляют энергию, связанную с битом, .

(3.66)

Подставляя уравнения (3.64,а) и (3.66) в формулу (3.65), получаем следующее.

(3.67)

Подставляя уравнение (3.67) в (3.63), получаем следующее.

(3.68)

Рассмотрим случай , соответствующий наилучшей корреляции сигналов и в течение времени передачи символа (если сигналы изобразить как векторы, угол между ними будет равен нулю). Возможно ли, чтобы подобные сигналы использовались кем-то в реальной системе? Разумеется, нет, поскольку сигналы связи (элементы алфавита) должны быль максимально несопоставимы, чтобы их можно было легко различать (обнаруживать). В данный момент мы просто рассматриваем возможные значения . Следующий частный случай соответствует «антикорреляции» и в течение времени передачи символа. Другими словами, угол между векторами сигналов составляет 180°. В этом случае, когда векторы являются зеркальными отображениями друг друга, как показано на рис. 3.10, а, сигналы называются антиподными. Рассмотрим также случай , соответствующий нулевой корреляции между и (угол между векторами равен 90°). Такие сигналы, показанные на рис. 3.10, б, именуются ортогональными. Чтобы два сигнала были ортогональными, они не должны коррелировать в течение времени передачи символа, т.е. должно выполняться следующее условие.

(3.69)

Рис. 3.10. Векторы двоичных сигналов: а) антиподные; б) ортогональные

Вопрос ортогональности рассматривался ранее, в разделе 3.1.3. При обнаружении антиподных сигналов (т.е. при ) с помощью согласованного фильтра, уравнение (3.68) можно записать следующим образом.

(3.70)

Точно так же при обнаружении ортогональных сигналов (т.е. при ) с помощью согласованного фильтра, формулу (3.68) можно записать следующим образом.

(3.71)

На рис. 3.10, где амплитуды сигналов выбраны равными , показано, что вероятность ошибки, описываемая уравнениями (3.70) и (3.71), является функцией расстояния между и (чем больше расстояние, тем меньше ). Если взять антиподные сигналы (рис. 3.10, а), расстояние между ними будет равно , а энергия , связанная с расстоянием, будет выражаться как квадрат расстояния, или . При подстановке в уравнение (3.63) получаем уравнение (3.70). Если взять ортогональные сигналы (рис. 3.10, б), расстояние между ними будет равно ; следовательно, . При подстановке в уравнение (3.63) получим уравнение (3.71).

Пример 3.2. Обнаружение антиподных сигналов с помощью согласованного фильтра

Рассмотрим бинарную систему связи, принимающую равновероятные сигналы и плюс шум AWGN (рис. 3.11). Предположим, что в качестве принимающего фильтра используется согласованный фильтр и спектральная плотность мощности шума равна Вт/Гц. С помощью значения напряжения и времени принятого сигнала, показанных на рис. 3.11, вычислите вероятность появления ошибочного бита.

Рис.3.11. Узкополосные аналоговые сигналы

Решение

Мы можем графически определить отношение принятой энергии на бит сигнала, используя для этого один из двух графиков, либо , либо , представленных на рис. 3.11. Энергия - это площадь под графиком импульса, которая находится путем интегрирования.

Поскольку сигналы, изображенные на рис. 3.11, являются антиподными и обнаруживаются с помощью согласованного фильтра, используем формулу (3.70) для вычисления вероятности появления ошибочного бита.


Из табл. Б.1 находим, что . Кроме того, поскольку аргумент больше 3, можно также использовать приближенное соотношение, приведенное в формуле (3.44), которое дает вероятность . Поскольку принятые сигналы являются антиподными и принимаются согласованным фильтром, весьма вероятно, что формула (3.70) дает верное выражение для нахождения вероятности возникновения ошибочного бита. Сигналы и могут выглядеть гораздо более странно, но до тех пор, пока они являются антиподными и обнаруживаются с помощью согласованного фильтра, их внешний вид не влияет на вычисление . Формы сигналов, разумеется, имеют значение, но только когда дело доходит до определения импульсного отклика согласованного фильтра, необходимого для обнаружения этих сигналов.



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.