Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.4.3. Типы эквалайзеров

3.4.3.1. Трансверсальный эквалайзер

В качестве тестовой последовательности, используемой для выравнивания, часто выбирается шумоподобная последовательность с широкополосным спектром, с помощью которой оценивается отклик канала. В простейшем смысле настройка может заключаться в передаче простого короткого импульса (приблизительно, идеального импульса) с последующим изучением импульсного отклика канала. На практике в качестве тестовой последовательности предпочтителен не единичный импульс, а псевдошумовой сигнал, поскольку последний имеет большую среднюю мощность, а значит, большее отношение сигнал/шум при одинаковых максимальных переданных мощностях. Для изучения трансверсального фильтра предположим, что через систему был передан единственный импульс, причем система спроектирована таким образом, что общая передаточная функция имеет вид приподнятого косинуса . Также будем считать, что канал вводит межсимвольную интерференцию, так что принятый демодулированный импульс искажается, как показано на рис. 3.25, поэтому боковые лепестки, ближайшие к главному лепестку импульса, не проходят через нуль в моменты взятия выборок. Искажение можно рассматривать как положительное или отрицательное отражение, появляющееся до и после главного лепестка. Для получения желаемой передаточной функции с характеристикой типа приподнятого косинуса выравнивающий фильтр, как следует из уравнения (3.85), должен иметь частотный отклик , тогда отклик канала при умножении на будет . Другими словами, мы хотим, чтобы выравнивающий фильтр вырабатывал набор подавляющих отражений. Поскольку нас интересуют выборки выровненного сигнала только в определенные моменты времени, проектирование подобного выравнивающего фильтра может быть довольно простой задачей.

Рис. 3.25. Принятый искаженный импульс

Трансверсальный фильтр, изображенный на рис. 3.26, - это наиболее популярная форма легко настраиваемого выравнивающего фильтра, состоящего из канала задержки с отводами задержки на Т секунд (где Т - длительность символа). В подобном эквалайзере текущее и предыдущее значения принятого сигнала линейно взвешиваются коэффициентами эквалайзера или весовыми коэффициентами отводов , а затем суммируются для формирования выхода. Основной вклад вносит центральный отвод; вклады остальных отводов связаны с отражениями основного сигнала в течение последующих (и предыдущих) интервалов Т. Если бы можно было создать фильтр с бесконечным числом отводов, можно было бы так подобрать весовые коэффициенты, чтобы импульсный отклик системы равнялся всегда нулю, за исключением моментов взятия выборок; таким образом была бы точно равна обратной передаточной функции канала в формуле (3.85). Несмотря на то что фильтр с бесконечным числом отводов не относится к числу реализуемых, все же можно создать фильтр, достаточно хорошо аппроксимирующий идеальный случай.

На рис. 3.26 выходы взвешенных отводов усиливаются, суммируются и подаются на устройство принятия решения. Весовые коэффициенты отводов должны выбираться так, чтобы вычитать эффекты интерференции из символов, соседствующих во времени с искомым символом. Предположим, что существует отводов с весовыми коэффициентами . Выборки на выходе эквалайзера находятся путем следующей свертки выборок на входе и весовых коэффициентов .

(3.86)

где - временные коэффициенты, показанные в круглых скобках. (Время может быть как положительным, так и отрицательным.)

Рис.3.26. Трансверсальный фильтр

Коэффициент используется для обозначения смещения во времени и как идентификатор коэффициентов фильтра (адрес фильтра). В последнем случае показан как индекс. Если ввести векторы z и с и матрицу х

(3.87)

и

(3.88)

то соотношение между , и можно записать в более компактной форме.

(3.89,а)

Если матрица х является квадратной, а число строк и столбцов соответствует числу элементов вектора с, то с можно выразить в следующем виде.

(3.89,б)

Отметим, что в общем случае размер вектора z и число строк матрицы х могут быть любыми, поскольку нас может интересовать межсимвольная интерференция в точках взятия выборок, достаточно удаленных от основного лепестка рассматриваемого импульса. В формулах (3.86)-(3.88) индекс k выбирался так, чтобы число точек взятия выборок равнялось . Векторы z и с имеют размерность и , соответственно, а матрица х не является квадратной и имеет размер на . В этом случае система уравнений (3.89,а) называется переопределенной (т.е. число уравнений превышает число неизвестных). Решать подобные уравнения можно с помощью детерминистского способа - метода обращения в нуль незначащих коэффициентов или статистического - метода решения с минимальной среднеквадратической ошибкой (mean-square error - MSE).

Обращение в нуль незначащих коэффициентов

Это решение начинается с отделения N верхних и N нижних строк матрицы х в уравнении (3.88). Таким образом, матрица х становится квадратной размером на , вектор z также имеет теперь размер , а формула (3.89,а) определяет детерминированную систему уравнений. Предлагаемое решение минимизирует максимальное искажение, вызванное межсимвольной интерференцией, путем выбора весовых коэффициентов таким образом, чтобы сигнал на выходе эквалайзера был равен нулю в N точках взятия выборок по обе стороны от искомого импульса. Другими словами, весовые коэффициенты выбираются так, чтобы

(3.90)

Для нахождения весовых коэффициентов из системы уравнений используется выражение (3.90). Требуемая длина фильтра (число отводов) зависит от того, насколько сильно канал может «размазать» импульс. Для эквалайзера конечного размера максимальное искажение гарантированно будет минимизировано только в том случае, если глазковая диаграмма изначально имеет вид открытого глаза. В то же время при высокоскоростной передаче и в каналах, вводящих значительную межсимвольную интерференцию, до выравнивания глаз всегда закрыт [8]. Кроме того, эквалайзер, использующий метод обращения в нуль незначащих коэффициентов, не учитывает воздействие шума, поэтому такое решение не всегда является оптимальным.

Пример 3.5. Трехотводный эквалайзер, использующий метод обращения в нуль незначащих коэффициентов

Путем передачи единственного импульса или настроечного сигнала требуется определить весовые коэффициенты отводов выравнивающего трансверсального фильтра. Выравнивающий канал, изображенный на рис. 3.26, состоит всего из трех отводов. Пусть принят искаженный набор выборок импульса со значениями напряжения 0,0; 0,2; 0,9; -0,3; 0,1, как показано на рис. 3.25. Используйте метод обращения в нуль незначащих коэффициентов для нахождения коэффициентов , уменьшающих межсимвольную интерференцию так, чтобы выборки импульса после выравнивания имели значения . Используя эти весовые коэффициенты, вычислите значения выборок выровненного импульса в моменты . Чему равен вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

Решение

При заданном импульсном отклике канала из формулы (3.89) получим следующее.

или

Решая систему трех уравнений, получаем следующие значения весовых коэффициентов.

Значения выравненных выборок импульса , соответствующих временам взятия выборок вычисляются с помощью формулы (3.89,а).

0,0000; -0,0428; 0,0000; 1,0000; 0,0000; -0,0071; 0,0345

Вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию равен 0,0428, а сумма амплитуд всех вкладов равна 0,0844. Очевидно, что эквалайзер с тремя отводами дает нулевое значение выровненного импульса в точках взятия выборки, соседствующих с основным лепестком. Если создать эквалайзер большего размера, он будет давать нулевое значение в большем числе точек взятия выборок.

Решение с минимальной среднеквадратической ошибкой

Более устойчивый эквалайзер можно получить, выбрав весовые коэффициенты , минимизирующие среднеквадратическую ошибку (mean-square error - MSE) всех членов, вносящих вклад в межсимвольную интерференцию, плюс мощности шума на выходе эквалайзера [9]. Среднеквадратическая ошибка определяется как математическое ожидание квадрата разности желаемого и обнаруженного информационных символов. Для получения решения с минимальной MSE можно использовать переопределенную систему уравнений (3.89,а), умножив обе ее части на , что дает [10]

(3.91,а)

и

, (3.91,б)

где является вектором взаимной корреляции, a - автокорреляционной матрицей входного шумового сигнала. На практике и априори неизвестны, но могут быть вычислены приблизительно путем передачи через канал тестового сигнала и использования усреднения по времени для нахождения весовых коэффициентов из уравнения (3.91).

(3.92)

При детерминистском решении метода обращения в нуль незначащих коэффициентов матрица х должна быть квадратной. Но для получения (статистического) решения с минимальной MSE начинать следует с переопределенной системы уравнений, а значит, неквадратной матрицы х, которая впоследствии преобразовывается в квадратную автокорреляционную матрицу , порождающую систему 2N+1 уравнений, решение которой дает значения весовых коэффициентов, минимизирующих MSE. Размер вектора с и число столбцов матрицы х соответствуют числу отводов выравнивающего фильтра. Большинство высокоскоростных модемов для выбора весовых коэффициентов используют критерий MSE, поскольку он лучше равновесного; он является более устойчивым при наличии шумов и большой межсимвольной интерференции [8].

Пример 3.6. Семиотводный эквалайзер с минимальной среднеквадратической ошибкой

Путем передачи единственного импульса или настроечного сигнала требуется определить весовые коэффициенты отводов выравнивающего трансверсального фильтра. Выравнивающий канал, изображенный на рис. 3.26, состоит из семи отводов. Пусть принят искаженный набор выборок импульса со значениями напряжения 0,0108; -0,0558; 0,1617; 1,0000; -0,1749; 0,0227; 0,0110. Используйте решение с минимальной среднеквадратической ошибкой для нахождения весовых коэффициентов , минимизирующих межсимвольную интерференцию. Используя эти весовые коэффициенты, вычислите значения выборок выровненного импульса в моменты . Чему равен вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

Решение

С помощью формулы (3.93) для семиотводного фильтра (N=3), можно записать матрицу х размером 4N+1 на 2N+1=137.

Используя матрицу х, можно получить автокорреляционную матрицу и вектор взаимной корреляции , определенные формулами (3.91). С помощью компьютера матрица обращается, выполняется умножение матриц (см. формулу (3.92)), в результате чего получаются следующие весовые коэффициенты .

-0,0116; 0,0108; 0,1659; 0,9495; -0,1318; 0,0670; -0,0269

Подставляя эти весовые коэффициенты в систему уравнений (3.89,а), находим 13 выравненных выборок в моменты времени .

-0,0001; -0,0001; 0,0041; 0,0007; 0,0000; 1,0000;

0,0003; -0,0007; 0,0015; -0,0095; 0,0022; -0,0003

Вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию равен 0,0095, а сумма амплитуд всех вкладов равна 0,0195.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.