А.5. Свертка. Приложение А. Обзор анализа Фурье

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

Приложение А. Обзор анализа Фурье

А.5. Свертка

В конце XIX века Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) использовал свертку для вычисления тока на выходе электрической схемы, на вход которой подан сигнал, описываемый сложной функцией напряжения. Использование методов Хевисайда предшествовало применению аналитических методов, разработанных Фурье и Лапласом (хотя публикации Фурье и Лапласа вышли раньше).

Рис. A.7. Спектр сигнала

Отклик схемы на входное импульсное возмущение называется импульсной характеристикой и обозначается h(t), как показано на рис. А.8, т.е. это просто выходное напряжение, полученное при подаче на вход дельта-функции. Хевисайд аппроксимировал произвольный сигнал, подобный показанному на рис. А.9, а, набором равноотстоящих импульсов. Подобные импульсы конечной высоты и ненулевой длительности показаны на рис. А.9, б. В пределе при длительности импульса каждый импульс стремится к дельта-функции с весовым коэффициентом, равным площади импульса. Далее будем считать, что данные равноотстоящие импульсы имеют нулевую длительность, хотя строго они являются такими только в пределе.

Рис. А.8. Импульсная характеристика линейной системы

Поскольку нас интересует как время подачи импульсов на вход, так и время наблюдения реакции на них на выходе, следует весьма аккуратно относиться к записи времени. Поэтому определим две различные временные последовательности; начнем с использования следующей формы записи.

1. Время на входе будем обозначать через , так что входные импульсы напряжения будут записываться как , , …, .

2. Время на выходе будем обозначать через t, так что выходные функции тока будут записываться как i(t1), i(t2), …, i(tN).

Хевисайд нашел отклик схемы (или ток на выходе) для каждого входного импульса; после этого он сложил эти токи и получил общий ток на выходе. Весовой коэффициент прямоугольного импульса, поданного в момент — это произведение . Если устремить к нулю, последовательность импульсов будет аппроксимировать произвольное входное напряжение настолько точно, насколько это нужно. Снова отметим, что момент подачи импульса на вход — это , а момент определения реакции системы - ti, где - переменная входного времени, a t - переменная выходного времени, i = 1, ..., N.

б)

Рис. А.9. Аппроксимация произвольного входного сигнала:

а) входной сигнал; б) аппроксимация входного сигнала

На рис. А.10 показана выходная реакция i(t) = A1h(t-) на импульс с весовым коэффициентом . Поскольку входной импульс в момент не является единичным, он умножается на весовой коэффициент — интенсивность (или площадь) . В некоторый момент времени t1 где , выходная реакция на импульс , как показано на рис. А.10, выражается следующим образом.

при

Рис. А. 10. Реакция на импульс в момент

При наличии нескольких входных импульсов общий выходной отклик линейной системы — это просто сумма отдельных откликов. На рис. А.11 показан отклик сети на два единичных импульса. При N импульсах на входе ток на выходе, измеренный в момент времени t1, можно записать следующим образом.

Рис. А. 11. Реакция на два импульса

i(t1) = ++ …+,

где импульсы подаются в моменты , , …, и где .

Все импульсы, поданные на вход после момента t1, не учитываются, поскольку они не дают вклада в i(t1). Это согласуется с требованием причинности физически реализуемых систем — отклик системы должен быть нулевым до применения возмущения. Итак, можно записать ток на выходе в любой момент времени t следующим образом.

i(t) = ++ …+

или, поскольку весовой коэффициент импульса в момент времени равен ,

(A.43)

Когда стремится к нулю, сумма входных импульсов — к действительному напряжению , можно заменить , при этом сумма переходит в интеграл свертки.

(А.44,а)

или

(A.44,б)

В сокращенной записи

(A.45)

Итак, i(t) - это сумма реакций на отдельные импульсные возмущения, произведенные в некоторый входной момент , причем каждый импульс умножается на весовой коэффициент — интенсивность.









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru