Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

Приложение Б. Основы теории принятия статистических решений

Б.1.2. Теорема Байеса в смешанной форме

Для большинства приложений связи, представляющих практический интерес, возможные значения принятой выборки принадлежат непрерывному диапазону (причина - наличие в канале связи аддитивного гауссового шума). Следовательно, наиболее полезная форма теоремы Байеса содержит плотность вероятности с непрерывными, а не дискретными значениями. Изменим соответствующим образом формулу (Б.З).

(Б.4)

Здесь - плотность условной вероятности принятой выборки z (принимающей значения из непрерывного диапазона) при условии принадлежности к классу si.

Пример Б.З. Наглядное представление теоремы Байеса

Даны два класса сигнала s1 и s2, которые описываются треугольными функциями плотности условной вероятности и , показанными на рис. Б.2. Принят некоторый сигнал; он может иметь любое значение по оси z. Если функции плотности вероятности не перекрываются, сигнал можно классифицировать однозначно. В данном же примере, приведенном на рис. Б.2, нам требуется правило, которое позволит классифицировать принятые сигналы, поскольку некоторые из них попадут в область перекрывающихся функций плотности вероятности. Рассмотрим принятый сигнал za. Пусть два класса сигналов s1 и s2 являются равновероятными. Нужно вычислить две возможные апостериорные вероятности и предложить правило принятия решений, которое следует использовать при определении принадлежности сигнала za к определенному классу. То же самое нужно сделать для сигнала zb.

Рис. Б.2. Наглядное представление теоремы Байеса

Решение

Из рис. Б.2 видим, что = 0,5 и = 0,3. Следовательно,

=

=

и

Одно из возможных правил - определять принятый сигнал к классу с максимальной апостериорной вероятностью (классу S1). Эквивалентное правило, для равных априорных вероятностей, - это исследовать значение функции плотности вероятности, обусловленной каждым классом сигналов (называемой правдоподобием класса сигналов), и выбрать класс с максимальным значением. Рассмотрим рис. Б.2 и отметим, что правило максимального правдоподобия соответствует нашей интуиции. Правдоподобие принадлежности сигналаza к каждому классу сигналов соответствует обведенной кружком точке на каждой функции плотности вероятности. Правило максимального правдоподобия заключается в выборе класса сигналов, дающего максимальную условную вероятность из всех имеющихся. Повторим вычисления для принятого сигнала zb.

Как и ранее, правило максимального правдоподобия указывает нам выбрать класс сигналов s1. Заметим, что при принятии выборки zb, мы более уверены в точности нашего выбора, по сравнению с принятием, сигнала za. Это объясняется тем, что отношение к существенно больше отношения к .



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.