Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

Приложение Д. S-область, z-область и цифровая фильтрация

Д. 1.7. Устойчивость линейных систем

Рассмотрим однополюсное уравнение, соответствующее некоторой линейной системе.

(Д.19)

Импульсную характеристику данной системы можно (используя табл. Д.1) найти как обратное преобразование Лапласа выражения (Д.19); если , то импульсная характеристика выглядит следующим образом.

(Д.20)

Видим, что Re[] =; если >0, импульсная характеристика расходится с увеличени­ем t (времени). В то же время, если <0, импульсная характеристика сходится с уве­личением t. Член — это комплексная (осциллирующая) синусоида (см. раз­дел А.2.1). Используя формулировку, несколько отличающуюся от применяемых ра­нее, можно сказать, что система устойчива, если все полюса в s-области имеют отрицательную действительную часть.

Таким образом, если изобразить полюса на комплексной s-плоскости, все они должны располагаться в ее левой части. На рис. Д.2 показана область устойчивости и приведен пример устойчивой передаточной функции третьего порядка, все полюса ко­торой попадают в левую часть комплексной s-плоскости, т.е. имеют отрицательную действительную часть. Отметим, что нули функции могут быть в левой или правой части s-плоскости, и это не влияет на устойчивость.

Нули в точках s = 0,1, 0,2-0,2i, 0,2+0,2i

Полюсы в точках s= -1, -0,5-0,5i, -0,5+0,5i

Рис. Д.2. Нули и полюса передаточной функции, изображенные в s-области

Если цепь имеет более одного полюса, передаточную функцию можно рассматри­вать как последовательность однополюсных функций.

(Д.21)

Для устойчивости все полюсы должны находиться в левой части комплексной плоскости. Отметим, что для реальных схем с вещественными коэффициентами Лапласа (т.е. в урав­нении (Д. 16) а, В, С, D и Е — вещественные) полюсы и нули будут вещественными или бу­дут разбиты на пары комплексно-сопряженных величин, как показано на рис. Д.2.

Для нашего предыдущего примера RС-цепи передаточная функция в формуле (Д.14) является безусловно устойчивой, поскольку — это всегда положительная величина, что, разумеется, является ожидаемым результатом. Неустойчивость в линейных системах возникает только при наличии в них обратной связи (рекурсии), например, при использо­вании фильтров с инвертирующими или неинвертирующими усилителями.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.