Д.2. <i>z</i>-преобразование. Приложение Д. S-область, z-область и цифровая фильтрация

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

Приложение Д. S-область, z-область и цифровая фильтрация

Д.2. z-преобразование

По сути, z-преобразование — это дискретный эквивалент преобразования Лапласа. Оно делает возможным удобный математический анализ (стационарный анализ и анализ переходных процессов) и манипулирование сигналами и спектрами. Возможно, наиболее распространенным современным применением z-преобразования являет­ся описание дискретных систем и анализ их устойчивости.

z-преобразование позволяет вычислять свертку входного сигнала и характеристики дискретной линейной системы в математически удобном виде. Кроме того, могут оп­ределяться нули и полюса системы, что позволяет извлекать информацию о динами­ческом поведении и устойчивости дискретной системы. Следует отметить, что нули и полюса z-преобразования отличаются от нулей и полюсов преобразования Лапласа.

Д.2.1. Вычисление z-преобразования

z-преобразование можно вывести непосредственно из преобразования Лапласа, определен­ного в формуле (Д.4), рассмотрев для этого сигнал x(t), выборка которого производится каждые T секунд. Таким образом, сигнал будет представлен как функция дискретного вре­мени: x(0), х(Т), х(2Т), ...= {x(kT)}. Дискретные данные представляют множество взвешен­ных и смещенных дельта-функций, применение к которым преобразования Лапласа дает следующий результат (использовано свойство сдвига во времени).

                                                                                   (Д.22)

Введем параметр z = и заменим дискретное время kT номером выборки k. В резуль­тате получаем следующее.

                                                                                        (Д.23)

Приведем в качестве примера результат применения z-преобразования к единичной ступенчатой функции (Хевисайда).

                                    (Д.24)

Выше при суммировании геометрической прогрессии было использовано предполо­жение |z| < 1 (область сходимости). В табл. Д.З и Д.4 приведены, соответственно, при­меры применения z-преобразования к некоторым распространенным функциям и представлены полезные свойства данного преобразования.

Таблица Д.3. z-преобразование некоторых функций

Тип сигнала

Временная функция

z-преобразование

Импульс

Задержанный импульс

Единичная ступенчатая функция (Хевисайда)

Линейно растущая функция

Экспоненциальная функция

Синусоида

Косинусоида

Таблица Д.4. Свойства z-преобразования

Свойство

Временная функция

Преобразование Лапласа

Произвольная функция

Произвольная функция

Линейность

Сдвиг во времени

Модуляция

Экспоненциальное масштабирование

Линейное масштабирование

Свертка

Д.2.2. Обратное z-преобразование

Переход из z-области во временную область выполняется посредством обратного z-преобразования [2].

                                                               (д.25)

Здесь интегрирование в комплексной области проводится по любому простому контуру в области сходимости X(z), включающему точку z = 0. Как правило, вычисле­ние обратного z-преобразования сложнее вычисления прямого. Обычно приходится раскладывать подынтегральное выражение на сумму рациональных дробей, делить по­линомы, использовать теорему о вычетах и составлять разностные уравнения. Поэто­му большая часть z-преобразований и обратных z-преобразований вычисляется с ис­пользованием таблиц интегралов и их свойств, так что явного вычисления выраже­ния (Д.25) обычно удается избежать. При современном анализе цифровых сигналов и систем используются программные пакеты, подобные SystemView [1], а z-преобразование большей частью представляет собой просто аналитическую форму за­писи, удобную для определения устойчивости дискретных сигналов и систем.







© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.