Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

Приложение Д. S-область, z-область и цифровая фильтрация

Д.3.5. Дискретное преобразование Фурье импульсной характеристики цифрового фильтра

Частотная характеристика цифрового фильтра вычисляется из дискретного преобразо­вания Фурье (discrete Fourier transform — DFT, ДПФ) импульсной характеристики фильтра. Напомним вид преобразования Фурье, приведенного в формуле (А.26).

(Д.34)

Данную формулу можно использовать для вычисления Фурье-образа импульсной ха­рактеристики фильтра. Ее можно упростить, полагая, что используется дискретная версия сигнала x(t), причем выборка сигнала производится каждые Тs = секунд.

(Д.35)

Разумеется, импульсная характеристика цифрового фильтра является причинной, и первая выборка импульсной характеристики производится в момент k = 0, а послед­няя — в момент k = N- 1, что в сумме дает N выборок на одно преобразование. Таким образом, для данного конечного числа выборок можно переписать формулу (Д.25), использовав не явное время kTs, а число выборок k.

(Д.36)

Отметим, что значение выражения (Д.36) вычисляется для непрерывной частот­ной переменной f. В действительности же нам требуется знать это значение для некоторых определенных частот — нулевой частоты (постоянной составляющей) и гармоник "собственной" частоты; всего N дискретных; частот: 0, f0, 2f0 и так до f5, где .

для n от 0 до N-1 (Д.37)

Выражение выше можно упростить, использовав только временной индекс k и частот­ный индекс п. В результате получаем дискретное преобразование Фурье (discrete Fourier transform — DFT, ДПФ).

для n от 0 до N-1 (Д.38)

Поскольку частота дискретизации сигнала x(k) равна fs выборок/с, сигнал включает налагающиеся (или дублирующиеся) компоненты на частотах свыше . Следова­тельно, при вычислении значения выражения (Д.38) достаточно ограничиться часто­тами до . Отметим, что формула (Д.38) аналогична формуле (Д.23), если положить для последовательности длиной N выборок.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.