Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->
Обязательно посмотрите энциклопедию:

Радиоэлектроника, Схемы радиолюбителям


5.4. Вероятность ошибки при когерентном приеме двоичных сигналов. Теория передачи сигналов

Лекции по Теории передачи сигналов   

5. Основы теории помехоустойчивости

5.4. Вероятность ошибки при когерентном приеме двоичных сигналов

Определим вероятность ошибки в системе передачи двоичных сигналов при приеме на оптимальный приемник. Эта вероятность, очевидно, будет минимально возможной и будет характеризовать потенциальную, помехоустойчивость при данном способе передачи. При приеме на реальный приемник помехоустойчивость может быть равна потенциальной, но не может быть больше ее.

Пусть сигнал принимает значения s(t)  с вероятностью Ри значения s(t) с вероятностью . Если передавался сигнал  s то согласно условию (5.31) ошибка произойдет в том случае, когда

                                                                                 (5.39)

Так как x(t) = s1(t)+w(t), то неравенство (5.39) может быть приведено к виду

или

                                                 (5.40)

В соответствии с выражениями (5.18) и (5.19) левую, часть неравенства  (5.40) можно записать в следующем виде:

                                                                                    (5.41)

Так как каждый коэффициент имеет нормальное распределение со средним значением, равным нулю, то сумма (5.41) будет также представлять собой нормальную случайную величину  с нулевым средним значением и дисперсией

                                              (5.42)

Плотность вероятности случайной величины |

Согласно (5.40) ошибка произойдет при передаче   сигнала -s, если

Величина этой ошибки будет равна:

                                                                            (5,43)

Вводя  новую  переменную  на    основании    соотношения (2.29) имеем

где

После несложных преобразований окончательно получаем

                                                                                                (5.44)

где

                                                                                                (5.45)

                                                                                                                      (5.46)

Совершенно аналогично определяется вероятность ошибки при передаче сигнала s(t):

                                                                                                (5.47)

где

                                                                                                (5.48)

Полная вероятность ошибки при   оптимальном   приеме бинарных. сигналов s(t) и s(t) будет равна:

                                                                                                  (5,49)

или согласно (5.44) и (5.47)

                                                                       (5.50)

Из полученных формул следует, что вероятность ошибки, определяющая потенциальную помехоустойчивость, зависит от двух величин: 2 и P/P. Первая величина определяется отношением удельной энергии разности сигналов к интенсивности помехи N. Чем больше это отношение, тем больше потенциальная помехоустойчивость. Отношение априорных вероятностей P/P определяется статистическими свойствами передаваемых сообщений.

Если передаваемые сигналы равновероятны P=P=0,5, то ф-ла (5.50) упрощается и принимает вид

                                                                                                   (5.51)

Формулу (5.51) легко получить из геометрических представлений. Как это видно из рис. 5.3, при передаче сигнала s1 ошибка произойдет в том случае, если будет выполняться неравенство r>r2

или . Следовательно, вероятность ошибки можно определить как вероятность выполнения одного из этих неравенств, т. е.

Умножив обе части неравенства на d, получаем

где =— случайная величина (5.41), имеющая нормальное распределение с дисперсией (5.42). Тогда на основании (2.32) имеем

где

что совпадает с (5.51) и (5.46).

При малой интенсивности помех, когда , в ф-лах (5.45) и (5.48) вторым членом можно пренебречь. В этом случае ф-ла (5.50) также приводится к ф-ле (5.51). Вероятность ошибки при этом практически не зависит от Pи Р2. при большом уровне помех, когда мало, зависимость вероятности ошибки от отношения априорных вероятностей P/ Р2 становится заметной. С увеличением этого отношения вероятность ошибки увеличивается [4].

Таким образом, при равновероятных сигналах вероятность ошибки полностью определяется величиной . Значение этой величины зависит от спектральной плотности помех N0 и передаваемых сигналов s(t) и s(t).

Для систем с активной паузой, в которых сигналы имеют одинаковую энергию , выражение для 2 можно представить в следующем виде:

                                                                                                            (5.52)

— коэффициент   взаимной   корреляции

между сигналами, — отношение энергии сигнала к удельной мощности помехи.

Вероятность ошибки для таких систем определяется формулой

                                                                                     (5.53)

Отсюда следует, что при , т. е. , система обеспечивает наибольшую потенциальную помехоустойчивость. Эта система с противоположными сигналами. Для нее - Практической реализацией системы с противоположными сигналами является система с фазовой манипуляцией.

Сравнение различных систем передачи дискретных сообщений удобно производить по параметру 2, представляющему собой приведенное отношение сигнала к помехе на выходе оптимального приемника при заданном способе передачи , или по величине выигрыша

                                                                                            (5.54)

где . Множитель TF определяет выигрыш за счет оптимальной обработки сигнала на приеме, а (1 —) — за счет способа передачи.

В общем виде радиотелеграфный сигнал можно записать

                                                                (5.55)

где параметры колебания  принимают определенные значения в зависимости от вида манипуляции. Согласно (5.46) для сигналов (5.55) имеем:

             (5.56)

Для амплитудной манипуляции A(t)=A0, A2(t)=0

2       -

Для частотной манипуляции A(t)=A2(t)=A0. При оптимальном выборе разноса частот (), где k— целое

число и  Тогда на основании (5.56) получаем

Для фазовой манипуляции A(t)=A2t)=A0, ,

Сравнение полученных формул показывает, что из всех систем передачи бинарных сигналов наибольшую потенциальную помехоустойчивость обеспечивает система с фазовой манипуляцией. По сравнению с ЧМ она позволяет получить двукратный, а по сравнению с AM — четырехкратный выигрыш по мощности.

В системах связи сигнал обычно, составляется из последовательности простых сигналов. Так, в телеграфии каждой букве соответствует кодовая комбинация, состоящая из даты элементарных посылок. Возможны и более сложные комбинации. Если элементарные сигналы, составляющие кодовую комбинацию, независимы, то вероятность ошибочного приема кодовой комбинации определяется следующей формулой:

                                                                                                                            (5.57)

где — вероятность ошибки элементарного сигнала, п — число элементарных сигналов в кодовой комбинации (значность кода).

 Следует заметить, что вероятность ошибки в рассмотренных выше случаях полностью определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности помехи и не зависит от формы сигнала. В общем случае, когда спектр помехи отличается от равномерного, вероятность ошибки можно уменьшить, изменяя спектр сигнала, т. е. его форму.







© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки. Карта сайта

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru