Лекции по Теории передачи сигналов   

2. Сигналы и помехи

2.4. Разложение сигнала на элементарные составляющие

В общем случае сигнал представляет собой сложное колебание, поэтому возникает необходимость представить сложную функцию s(t), определяющую сигнал, через простые функции. Простейшей с практической точки зрения формой выражения сигнала является линейная комбинация некоторых . элементарных функций

                                                                                                     (2.51)

При изучении линейных систем такое представление сигнала весьма удобно. Оно позволяет решение многих задач расчленить на части, применяя принцип суперпозиции. Например, чтобы определить сигнал на выходе линейной системы, вычисляется реакция системы на каждое элементарное воздействие (t), а затем результаты, умноженные на соответствующие коэффициенты ak складываются.

Функции (t) выбираются таким образом, чтобы любой сигнал можно было представить сходящейся суммой вида (2.51). Далее требуется, чтобы коэффициенты ak легко вычислялись и не зависели от числа членов суммы (2.51). Указанным требованиям наиболее полно удовлетворяет совокупность ортогональных функций.

Функции

                                                                                              (2.52)

заданные на интервале  называются ортогональными, если

   при                                                                                (2.53)

Интеграл от квадрата каждой функции семейства (2.52) равняется некоторой постоянной

                                                                                                   (2.54)

Семейство функций

в силу (2.53) и (2.54) будет удовлетворять не только условию ортогональности, но и интеграл от квадрата каждой функции будет равен единице, т. е.

                                                                                (2.55)

Говорят, что функции семейства

                                                                                               (2.56)

ортогональны и нормированы (ортонормированны), если выполняются условия (2.55).

Пусть сигнал s(t) представлен в виде ряда по ортонормированным функциям (2.56):

                                                                                                    (2.57)

где  — некоторые числовые коэффициенты. Для определения коэффициентов  умножим обе части равенства (2.57) на  проинтегрируем по промежутку

(-T/2,T/2):

Принимая во внимание (2.55), получим

                                                                                                 (2.58)

Коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются обобщенными коэффициентами Фурье, а ряд (2.57) при этом называют обобщенным рядом Фурье.

В теории связи для представления сигналов широко используются два частных случая разложения функций в ортогональные ряды: разложение по тригонометрическим функциям и разложение по функциям вида sinx/x. В первом случае получаем спектральное представление сигнала в виде обычного ряда Фурье, а во втором случае — временное представление в виде ряда В. А. Котельникова. Очевидно, оба эти представления адекватны (равносильны).

Для достаточной идентивности (точности) представления сигнала суммой (2.57) необходимо потребовать, чтобы

 где ε — произвольная сколь угодно малая

положительная величина. Погрешность представления сигнала удобно оценивать средней квадратичной ошибкой

                                                                                  (2.59)

Можно показать, что  имеет наименьшее значение, если  равны коэффициентам Фурье. В этом случае

                                                                                          (2.60)

Отсюда получаем неравенство

                                                                                                  (2.61)

При  величина стремится к нулю и неравенство (2.61) превращается в известное равенство Парсеваля

                                                                                                 (2.62)

-Г/2

Система ортонормированных функций (2.56) называется замкнутой, если справедливо равенство (2.62). Эта система будет называться полной, если к ней нельзя присоединить ни одной функции, ортогональной одновременно всем функциям (2.56) и не равной тождественно нулю. Из условия замкнутости функции следует и их полнота. Поэтому можно сказать, что равенство (2.62) является необходимым и достаточным условием полного представления некоторого класса сигналов совокупностью ортогональных функций {}

Случайный сигнал (или помеха), заданный на интервале (-Т/2,Т/2), может быть также представлен рядом (2.51) или (2.57). При этом коэффициенты  будут случайными величинами, принимающими с определенной вероятностью значения, соответствующие различным реализациям сигнала (помехи).



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.