Лекции по Разделению каналов по форме в широкополосных СПИ   

3. Сигналы для РТС ПИ с разделением по форме

3.3. М-последовательности и их свойства

М-последовательности находят широкое применение для формирования широкополосного сигнала. Они используются сами непосредственно для модуляции несущей или на их основе формируются двоичные последовательности, называемые составными /2/. Это обусловлено прежде всего тем, что М-последовательности имеют очень хорошие ПКФ и генерируются с помощью простой схемы: m - разрядного регистра, охваченного обратной связью через сумматор по модулю 2. Причем длина последовательности, определяемая как , практически не ограничена: известны М-последовательности длиной до . Из всех двоичных последовательностей М-последовательности наиболее полно изучены. Рассмотрим подробнее их свойства и характеристики.

М-последовательности называют также последовательностями максимальной длины, последовательностями сдвигового регистра, линейными рекуррентными последовательностями. Длина последовательности . Это максимальная длина, которую можно получить с помощью регистра сдвига с m разрядами с линейной обратной связью.

Каждая М-последовательность характеризуется проверочным полиномом

,

который определяет проверочное уравнение

, (3.2)

или

. (3.3)

В выражениях (3.2) и (3.3) суммирование проводится по модулю 2, коэффициенты могут принимать значения 0 или 1. Выражение (3.3) есть рекуррентное правило определения любого символа М-последовательности по предыдущим m символам.

Последовательность коэффициентов представляет собой так называемое характеристическое уравнение /18/, которое определяет обратные связи в генераторе М-последовательности: j-й разряд регистра сдвига подключен к обратной связи (ко входу сумматора по модулю 2), если , выход j-го разряда не связан с сумматором по модулю 2, если .

На рис.3.9 представлен генератор М-последовательности, построенный в соответствии с проверочным полиномом . Характеристическое уравнение 100101. Этот полином имеет степень и дает М-последовательность длиной . В схеме генератора выходы третьего и пятого разрядов регистра сдвига подключаются к обратной связи, так как , а означает, что выход сумматора по модулю 2 связан со входом регистра сдвига.

67

Рис.3.9. Генератор М-последовательности длиной , проверочный полином , характеристическое уравнение I00I0I

Полиномы для сокращения записи обозначают в восьмеричном представлении /10/: характеристическое уравнение справа разбивается на группы по три двоичных символа, если в последней группе число символов окажется меньше трех, то слева дописывается соответствующее число нулей, каждая группа прочитывается как двоичное число. Например, используемый выше полином , имеющий характеристическое уравнение 100101, можно записать в восьмеричном коде как 45, а характеристическое уравнение для 10000001001 (проверочный полином ) запишется как 2011. Все проверочные полиномы заданной степени пронумерованы. Условно выбирается полином 1 - это полином с минимальным числом ненулевых коэффициентов. Для этого полинома можно определить α, которое является корнем уравнения , α называется примитивным элементом. Полином за номером 3 имеет корень уравнения , - третью степень примитивного элемента и т.д. Таким образом, номер полинома совпадает со степенью примитивного элемента , которая обращает в нуль рассматриваемый проверочный полином. Номера полиномов и их восьмеричное представление приведены в /10/ для и в приложении /1/ для .

Пример. Полином 45 для приводится в приложении 1 под номером 1, полином под номером 3 записывается как . Покажем, что если α – корень уравнения , т.е. , то является корнем уравнения

, т.е. . Подставляем в , получим

.

Но и .

т.е. показано, что является корнем уравнения .

Именно номера полиномов будут использоваться при рассмотрении составных последовательностей с хорошими корреляционными свойствами.

Остановимся подробнее на свойствах М-последовательностей /1, 4,12,18/. Схема генератора М-последовательности, аналогичная представленной на рис.3.9, может давать N различных последовательностей в зависимости от начального состояния регистра сдвига. Все эти последовательности будут циклическими сдвигами одной последовательности.

М-последовательность содержит «единиц» и «нулей». Вес последовательности (число «единиц») . В последовательности содержатся все возможные комбинации из m двоичных символов, кроме комбинации, состоящей из одних нулей. Это свойство обусловило название М-последовательностей как последовательностей максимальной длины.

Например, М-последовательность 0010111 содержит 4 «единицы» 3 «нуля». Вес последовательности равен 4. Количество «единиц» и «нулей" не будет меняться при циклических сдвигах последовательности: по 4 «единицы» и 3 «нуля» будет содержаться и в последовательности 1110010, и в других циклических сдвигах. Рассмотренные последовательности будут содержать все возможные комбинации по 3 символа: последовательность 0010111.001… можно представить последовательностью комбинаций 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100. Порядок следования комбинаций будет различным для различных последовательностей. Это как раз определяет случайный характер М-последовательностей, поэтому они относятся к классу псевдослучайных последовательностей (ПСП).

В М-последовательности содержится блоков, т.е. последовательностей одинаковых элементов. Например, в последовательности 0010111 содержится 4 блока: 00, 1, 00, 111. Такое число блоков приближает М-последовательность к оптимальным последовательностям, которые имеют малые значения максимальных боковых выбросов КФ. Для оптимальной системы число блоков должно быть равным /2/.

М-последовательность имеет двухуровневую ПКФ: , , независимо от длины . Значение является минимальным для длины при любом m, что и определяет оптимальность М-последовательности. Разница между главным выбросом ПКФ и ее боковыми выбросами при увеличении возрастает, и при ПКФ М-последовательности приближается к КФ гауссовского белого шума, которая представляется в виде дельта-функции , - спектральная плотность шума.

На рис.3.10 представлена ПКФ М-последовательности.

Рис.3.10. Периодическая корреляционная функция М-последовательности

Одно из важнейших свойств М-последовательностей - свойство сдвига и сложения, которое заключается в том, что поэлементная сумма по модулю 2 двух циклических сдвигов даст ту же М-последовательность со сдвигом, отличным от двух исходных. Если обозначить через - к-ый сдвиг, то свойство сдвига и сложения можно записать в виде:

. (3.4)

В /1/ дана методика определения номера сдвига i, который получается при сложении k – го и j – го циклических сдвигов одной последовательности с проверочным полиномом . В этой работе введено начало отсчета, т.е. нулевой циклический сдвиг – это М-последовательность с начальным блоком, состоящим из первых «нулей» и одной «1» (на последнем месте).

Таким, образом, 00...01 - начальный блок нулевого циклического сдвига М-последовательности. Фактически - это начальные состояния разрядов регистра сдвига генератора М-последовательности с вынесенными сумматорами (рис.3.9), при этом «1» записывается в первый разряд, а в остальные – «0». При таком определении нулевого циклического сдвига свойство сдвига и сложения (3.4) можно записать в виде:

. (3.5)

Это уравнение - сравнение по модулю означает, что двучлен является остатком от деления на , при этом следует иметь в виду, что все операции (сложение, умножение, деление) проводятся по модулю 2.

Каждый циклический сдвиг можно записать вариантами сумм из двух других циклических сдвигов и единственным образом в виде суммы из n циклических сдвигов, номера которых меньше m , при этом n может принимать значения от 1 до m:

, (3.6)

коэффициенты принимают два значения 0 или 1; при этом среди всех m значений этих коэффициентов только n равны 1, а остальные - 0, .

Пример. Определим, в виде каких сумм циклических сдвигов можно представить и при . Для этого проводим деление и на .

- 1-й остаток

 

- 2-й остаток

 

- 3-й остаток .

В результате деления получили 3 вида остатков, которые дают представление шестого циклического сдвига в виде соответствующих сумм .

Пятый циклический сдвиг можно представить суммой уже из 3 циклических сдвигов, номера которых меньше .

Состав суммы (3.6), т.е. значения коэффициентов , можно определить, используя генератор М-последовательности со встроенными сумматорами. На рис. 3.11 представлена такая схема для , . Под соответствующими разрядами RG представлены их состояния в последующих тактах (слева записаны номера тактов). Состояние i -го разряда дает значение коэффициента , а номер такта совпадает с номером циклического сдвига. Справа записаны суммы вида (3.6) для различных циклических сдвигов.

Разберем еще одно свойство М-последовательностей, которое редко приводится в литературе. Это свойство определяет связи между последовательностями, их проверочными полиномами.

Оказывается, если - М-последовательность с номером , а - любое число, , то последовательность , полученная выбором элементов -й последовательности , также является М-последовательностью. При этом, при , получается та же -я последовательность, только другой ее циклический сдвиг. Если и наибольший общий делитель , то полученная последовательность имеет ту же длину , и ее номер определяется из соотношения

. (3.7)

Номер

такта

Состояние RG

а0

а1

а2

0

1

0

0

1

0

1

0

2

0

0

1

3

1

1

0

4

0

1

1

5

1

1

1

6

1

0

1

7

1

0

0

 

Рис.3.11

Если , получим М-последовательность меньшей длины . Операция преобразования одной последовательности в другую (или в другой циклический сдвиг) называется децимацией по индексу /12/. Рассмотрим связи между последовательностями и полиномами на примере.

Пример. Последовательность длиной , , находящаяся в приложении 1 под номером 1, характеризуется проверочным полиномом и имеет вид: 0000100101100111110001101110101. Составим последовательность из ее элементов: 0010010110011111000110111010100. Сопоставление полученной последовательности с исходной позволяет сделать вывод, что получена та же последовательность, но другой циклический сдвиг.

Составим последовательность из 3к-х элементов последовательности 1. Получим последовательность: 0001010110100001100100111110111, которая является 20-м циклическим сдвигом последовательности 3, характеризующейся проверочным полиномом .

Рассмотрим другие индексы децимации .

приводят к последовательности 1. приводит к последовательности 5 с проверочным полиномом . К этому же полиному приводят децимации по . Покажем это для . Полинома с номером 9 в таблице нет. Используем свойство, что умножение номера полинома на - приводит к той же последовательности. Проводим умножение 9 на 2 последовательно 5 раз (можно делить на 2), результата представляем по модулю 31. Получим: 9, 18, 36 = 5, 10, 20, 40 = 9. Из полученных значений выбираем минимальное, которое и определяет номер полученного полинома.

К полиному 3 приводят, кроме , еще децимации по индексам: . Децимации по индексу приводят к полиному 7 (а также ). Децимация даст последовательность 11 с проверочным полиномом (а также ). Децимация с приводит к последовательности 15 с проверочным , а также .

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что все М-последовательности длиной 31 связаны между собой с индексами децимации

. Все рассмотренные связи можно привести в виде диаграммы (рис.3.12).

Выше определены связи одного полинома с другими. Теперь нетрудно установить связи всех полиномов между собой. Для этого просмотреть цепи переходов полиномов при различных .

Пусть . Переход полинома 1 в полином 3 условно обозначим . Полином 3 при переходит в полином 5: . Цепь продолжается: . Дальнейшие вычисления дают, что . Таким образом, имеем замкнутую цепь, в которой участвуют все полиномы:

.

Эта цепь на рис.3.12 представлена в виде шестиугольника.

Рис.3.12. Диаграмма децимаций М-последовательности длиной - при обходе по часовой стрелке и - при обходе против часовой стрелки, и соответственно,

Следует отметить, что при обходе цепи в одном направлении имеем децимации с , а при обходе в другом направлении получаем децимации с (переход указывает на значение индекса децимации так же, как переход ).

Пусть теперь . С этим индексом децимации имеем цепь , в которой участвует только половина полиномов. При обходе в обратном направлении имеем . Вторая цепь объединяет другие полиномы: , Эти цепи представлены на рис.3.12 в виде треугольников.

Наконец, пусть . Это дает попарную связь полиномов: - полином 1 переходит в полином 15 с , и полином 15 переходит в полином l с таким же индексом децимации. Следует отметить, что . определяет связь обратных полиномов: полином 15 является обратном первому. Другие пары обратных полиномов: и .

Таким образом, все полиномы образуют объединенную систему, что хорошо видно на рис.3.12.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.