3.9. Метод диагностики на основе ортогонального анализа отклика системы по базису гармонических функций

Известно, что динамические свойства любой радиотехнической системы можно описать её откликом h(t). Если отклик системы разложить в ряд Фурье и установить аналитическую связь между коэффициентами ряда Фурье для отклика и параметрами диагностируемой системы, то на этой основе можно проводить диагностирование. Отклик любой системы

 <                                                                              (59)

где М и С₀ – постоянные положительные действительные числа:

h(t) = 0 при t < 0   и h(t) 0 при t > 0.

         Для отклика системы, удовлетворяющего условию (59) можно применить преобразование Лапласа:

                                                                                                 (60)   

где функция h(t) является оригиналом, а функция Н(р) является изображением функции по Лапласу.

         Учитывая условие (59) в формулах (60) можно положить С = 0 и р = jω.

Тогда получим преобразование Фурье:

                                                                                                          (61)

Разложение функции h(t) в ряде Фурье в комплексной форме имеет вид:

                                                                                     (62)

где t₀ – для отклика h(t);

С_n – комплексные коэффициенты.

                                          (63)

Из сравнения (60) и (63) получаем формулы для определения коэффициентов Фурье:

 , при                                     (64)            

    ,   при                                            (65)

Используя преобразование Лапласа, можно получить изображение выходного сигнала и передаточной функции.

S₂ (P) = S₁ (P)*K(p)                                                                      (66)

Зная параметры элементов системы, можно вычислить её передаточную функцию К(р). Если параметры входного сигнала S₁(P) будут неизменными, то любые отклонения параметров системы за допустимые пределы будут отражаться в спектре выходного сигнала.

         Связь между параметрами системы и коэффициентами ряда Фурье разложения передаточной функции можно продемонстрировать на примере.

         Пример 3.9.5 Передаточная функция видеосигнала.

                                                                          (67)

где {х} = К, Т₁, Т₂ – диагностируемые параметры (вторичные).

         Решение. Определить вещественную и мнимую часть передаточной функции:

          ;

     ;

              ;

ω = n*ω₀ , где n – номер гармоники;

ω₀ – частота основной гармоники.

         Для определения текущих значений диагностируемых параметров, составим систему уравнений, используя действительную часть передаточной функции:

            ;

                                                                                                             (68)

            .

Используя мнимую часть передаточной функции, получим другую систему уравнений:

              ;                                                        

                                                                                                             (69)

           .     

         В дальнейшем для упрощения вычислений используем относительные коэффициенты разложения:

В₁ = b₁/a₁ ;  B₂ = b₂/a₂ ; …; B_n = b_n/a₂    .                                   (70)

         Используя текущие значения в относительных коэффициентов, составим систему уравнений:

                                                                                        (71)

Систему уравнений приведем к виду:

                                                                     (72)

Решая систему уравнений (71) и (72) относительно Т₁ и Т₂ , получим выражения для параметров диагностируемой системы:

                                                                                 (73)

         Для определения коэффициента усиления К видеоусилителя воспользуемся уравнением:

           .                                                           (74)

Отсюда:

           .                                                          (75)    

Полученные значения параметров сравниваются с их номинальными значениями. Параметр, вышедший из допуска, и определяет место неисправности.