Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

3. Линейные образы. Прямая и плоскость. Линейная алгебра и Аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

3. Линейные образы. Прямая и плоскость

3.1. Системы координат и их представления. Метод координат

3.1.1. Системы координат и их представления

3.1.2. Метод координат

3.1.3. Теорема об инвариантности порядка

3.1.4. Полярная система координат

3.2. Уравнение прямой линии на плоскости

3.2.1. Параметрическое уравнение прямой

3.3. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве

3.3.1. Плоскость в пространстве

3.3.2. Нормальное уравнение плоскости

3.3.3. Условие параллельности двух плоскостей

3.3.4. Условие перпендикулярности двух плоскостей

3.3.5. Угол между плоскостями

3.3.6. Прямая в пространстве

3.3.7. Условие параллельности 2-х прямых

3.4. Основные задачи на прямые и плоскости

3.4.1. Как найти точку пересечения двух прямых?

3.4.2. Как найти расстояние от точки до прямой?

3.4.3. Как разделить угол пополам?

3.4.4. Когда прямая пересекает отрезок?

3.4.5. Как найти отражённый луч?

3.4.6. Когда три прямые пересекаются в одной точке?

3.4.7. Когда три точки лежат на одной прямой?

3.4.8. Как найти треугольник по двум вершинам и центру?

3.4.9. Как найти треугольник по двум сторонам и центру тяжести?

3.4.10. Когда три плоскости пересекаются в одной точке?

3.4.11. Как найти расстояние от точки до плоскости?

3.4.12. Когда плоскость пересекает отрезок?

3.4.13. Как опустить перпендикуляр на плоскость?

3.4.14. Как найти угол между прямой и плоскостью?

3.4.15. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

3.4.16. Как найти плоскость, содержащую прямую и точку?

3.4.17. Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой?

3.4.18. Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве?

3.4.19. Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

3.4.20. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

3.4.21. Когда две прямые пересекаются?



3.1. Системы координат и их представления. Метод координат



3.1.1. Системы координат и их представления

Системы координат и их представленияСистемы координат и их представленияпараллельный перенос

Системы координат и их представленияСистемы координат и их представленияСистемы координат и их представления

Системы координат и их представления
=
=
Системы координат и их представления; Системы координат и их представления; Системы координат и их представления;

Системы координат и их представления; Системы координат и их представления

A-ортогональная, т.е. ; Системы координат и их представления; Системы координат и их представления

Системы координат и их представления

Системы координат и их представления

Системы координат и их представления(Ф-лы поворота)

Общий случай Системы координат и их представления



3.1.2. Метод координат

Метод координатназ-ся ур-нием линии, если каждая точка линии удовлетворяет этому ур-нию.

Алгебраической кривой наз-ся линия имеющая уравнение многочлен от (x,y)-многочлен от (x,y).

многочлен от (x,y)

порядок кривой (линии)-порядок кривой (линии).



3.1.3. Теорема об инвариантности порядка

Если в некоторой ДСК кривая задается ур-нием порядка n, то в любой другой системе координат эта линия задается ур-нием такого же вида, такого же порядка.

Инвариантно-т.е. независимо от выбора системы координат.

Теорема об инвариантности порядка.(расстояние)

Теорема об инвариантности порядка.середина отрезка (координат)

Теорема об инвариантности порядка.Теорема об инвариантности порядка.

формулы деления отрезка в данном отношенииформулы деления отрезка в данном отношении.



3.1.4. Полярная система координат

Полярная С.К.

Полярная С.К.

Полярная С.К.



3.2. Уравнение прямой линии на плоскости

Теорема: Всякое линейное уравнение вида Уравнение прямой линии на плоскости(oбщее уравнение прямой) определяет прямую на плоскости.

Векторное уравнение прямой.

Уравнение прямой линии на плоскости Уравнение прямой линии на плоскости;Уравнение прямой линии на плоскости;Уравнение прямой линии на плоскости;Уравнение прямой линии на плоскости

векторное ур-е прямой;векторное ур-е прямой-векторное уравнение прямой

ур-е прямой проходящей через данную точку с данным нормальным вектором - уравнение прямой проходящей через данную точку с данным нормальным вектором

ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е)ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е) - уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое уравнение)

ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е)ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е);ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е), т.к.ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е) или ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е)

,где ур-ние прямой проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом- уравнение прямой проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом.

ур-ние прямой с данным угловым коэффициентом - уравнение прямой с данным угловым коэффициентом.

- уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки.

ур-ние прямой с данным угловым коэффициентом

ур-ние прямой в отрезках - уравнение прямой в отрезках

нормальное ур-е прямой нормальное ур-е прямой- нормальное уравнение прямой

нормальное ур-е прямой

расстояние от начала координат до прямой- расстояние от начала координат до прямой расстояние от начала координат до прямой

расстояние от начала координат до прямой;расстояние от начала координат до прямой



3.2.1. Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой

Условие параллельности двух прямых

Условие параллельности двух прямыхУсловие параллельности двух прямых

Условие параллельности двух прямых;Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямыхУсловие перпендикулярности двух прямыхУсловие перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми Угол между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми=Угол между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми



3.3. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве



3.3.1. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространствеПлоскость в пространстве

Плоскость в пространствеПлоскость в пространстве

Определение: Любое линейное уравнение от 3-х переменных определяет плоскость в пространстве и обратно. общее ур-е пл-ти в пространстве - общее уравнение плоскости в пространстве

пл-ть проходит через начало координат - плоскость проходит через начало координат пл-ть проходит через начало координатпл-ть проходит через начало координат

пл-ть проходит через начало координат

пл-ть проходит через начало координат

уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данный нормальный векторур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор

ур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор ур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор

ур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный векторур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный векторур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор

направляющие вектора пл-ти - направляющие вектора плоскости

направляющие вектора пл-ти

направляющие вектора пл-ти

смешанное произведение 3-х векторов - смешанное произведение 3-х векторов

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами - уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данными направляющими векторами.

Пусть ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторамиx, y, z - текущие координаты

ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторамиур-е пл-ти в отрезках - уравнение плоскости в отрезках.



3.3.2. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскостиНормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости - нормальное уравнение плоскости

p - расстояние от начала координат до плоскости.



3.3.3. Условие параллельности двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей;Условие параллельности двух плоскостейУсловие параллельности двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей



3.3.4. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Условие перпендикулярности двух плоскостей;Условие перпендикулярности двух плоскостей;Условие перпендикулярности двух плоскостей

Условие перпендикулярности двух плоскостей



3.3.5. Угол между плоскостями

Угол между плоскостямиУгол между плоскостями



3.3.6. Прямая в пространстве

Прямая в пространствеПрямая в пространстве

векторное ур-е прямой в пространстве - векторное уравнение прямой в пространстве

t=каноническое ур-е прямой каноническое уравнение прямой

параметрическое ур-е прямой в пространстве - параметрическое уравнение прямой в пространстве

параметрическое ур-е прямой в пространстве

ур-е прямой прох. через 2 данные точки - уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки

ур-е прямой прох. через 2 данные точки

общее ур-е прямой в пространстве - общее уравнение прямой в пространстве

общее ур-е прямой в пространстве общее ур-е прямой в пространстве

Пример.

общее ур-е прямой в пространстве

общее ур-е прямой в пространствеобщее ур-е прямой в пространстве

общее ур-е прямой в пространствеобщее ур-е прямой в пространстве

общее ур-е прямой в пространствеобщее ур-е прямой в пространстве

общее ур-е прямой в пространстве



3.3.7. Условие параллельности 2-х прямых

Условие параллельности 2-х прямыхУсловие параллельности 2-х прямыхУсловие параллельности 2-х прямых ; Условие параллельности 2-х прямых ;

Если прямые перпендикулярны ортогонально, то прямые перпендикулярны ортогонально.



3.4. Основные задачи на прямые и плоскости



3.4.1. Как найти точку пересечения двух прямых?

Как найти точку пересечения двух прямыхКак найти точку пересечения двух прямых

Как найти точку пересечения двух прямых

Основные задачи на прямые и плоскости

Точка пересечения (1;2).



3.4.2. Как найти расстояние от точки до прямой?

Как найти расстояние от точки до прямой

Как найти расстояние от точки до прямойКак найти расстояние от точки до прямой

Как найти расстояние от точки до прямойКак найти расстояние от точки до прямой



3.4.3. Как разделить угол пополам?

Как разделить угол пополам

Как разделить угол пополам

Как разделить угол пополамКак разделить угол пополамКак разделить угол пополам

1) первая биссектрисапервая биссектриса "+"

2) вторая биссектрисавторая биссектриса



3.4.4. Когда прямая пересекает отрезок?

Когда прямая пересекает отрезок

прямая пересекает отрезокпрямая пересекает отрезок.

Пример: 5x-y+1=0 M1(1;-1) ; M2(-3;2)



3.4.5. Как найти отражённый луч?

Как найти отражённый луч

Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч

Пример:

y=2x+1 x-3y-2=0

x-3(2x+1)+2=0

-5x-1=0 ;;

Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч;Как найти отражённый луч

Как найти отражённый луч



3.4.6. Когда три прямые пересекаются в одной точке?

Когда три прямые пересекаются в одной точке имеет нетривиальное решение

Когда три прямые пересекаются в одной точке;Когда три прямые пересекаются в одной точке;Когда три прямые пересекаются в одной точке



3.4.7. Когда три точки лежат на одной прямой?

A1(x1;y1) A2(x2;y2) A3(x3;y3)

Когда три точки лежат на одной прямой;Когда три точки лежат на одной прямой;Когда три точки лежат на одной прямой



3.4.8. Как найти треугольник по двум вершинам и центру?

Дано: A, B, O - ортоцентр

Как найти треугольник по двум вершинам и центру

Пример: Дано: A(-5;5) B(3;1) O - ортоцентр (2;5)

Как найти треугольник по двум вершинам и центру;Как найти треугольник по двум вершинам и центру;Как найти треугольник по двум вершинам и центру

Как найти треугольник по двум вершинам и центру x=3 4y=28 y=7 C(3;7)



3.4.9. Как найти треугольник по двум сторонам и центру тяжести?

(центру пересечения медиан)?

Как найти треугольник по двум сторонам и центру тяжести

AB: 4x-5y+9=0 AC: x+4y-3=0

O(3;1) A(?;?)

По Крамеру: По Крамеру;По КрамеруA(-1;1)

D - середина BC D(5;1)

BC: y-1=k(x-5) По Крамеру;По Крамеру;По Крамеру

По Крамеру;По Крамеру

По Крамеру

(25k+4)(4k+1)+(20k-1)(5k-4)-10(4k+1)(5k-4)

По Крамеру

Некоторые способы решения задач



3.4.10. Когда три плоскости пересекаются в одной точке?

Когда три плоскости пересекаются в одной точке;Когда три плоскости пересекаются в одной точке



3.4.11. Как найти расстояние от точки до плоскости?

Как найти расстояние от точки до плоскостиКак найти расстояние от точки до плоскости



3.4.12. Когда плоскость пересекает отрезок?

Когда плоскость пересекает отрезок

(Ax1+By1+Cz1+D)(Ax2+By2+Cz2+D)>0 M1 и M2 - по одну сторону



3.4.13. Как опустить перпендикуляр на плоскость?

Как опустить перпендикуляр на плоскость

Как опустить перпендикуляр на плоскость



3.4.14. Как найти угол между прямой и плоскостью?

Как опустить перпендикуляр на плоскость угол всегда острый



3.4.15. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

Как найти точку пересечения прямой и плоскости 2x-3y+z-5=0

Как найти точку пересечения прямой и плоскости2(2t+1)-3(t-2)+(-2t+3)-5=0 ; 4t+2-3t+6-2t+3-5=0 ; -t+6=0 ; t=6

Как найти точку пересечения прямой и плоскости

координаты точки пересечения



3.4.16. Как найти плоскость, содержащую прямую и точку?

Как найти плоскость, содержащую прямую и точку Как найти плоскость, содержащую прямую и точку

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример: Как найти плоскость, содержащую прямую и точку M(1;0;2) Как найти плоскость, содержащую прямую и точку

Как найти плоскость, содержащую прямую и точку ; -5(x-1)+2(y-0)-4(z-2)=0 ; -5x+5+2y-4z+8=0 -5x+2y-4z+13=0



3.4.17. Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой?

Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой

Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой ; Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой

Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой

Пример: A(x-3)+B(y+4)+C(z-2)=0

Как найти плоскость, содержащую прямую и параллельную другой прямой

23(x-3)-16(y+4)+10(z-2)=0 ; 23x-69-16y-64+10z-20=0 ; 23x-16y+10z-153=0



3.4.18. Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве?

Как опустить перпендикуляр на прямую в пространствеКак опустить перпендикуляр на прямую в пространстве ; Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве

 

Пример:Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве

Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве ;

Решение: Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве

Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве ; Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве

Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве

Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве ; Как опустить перпендикуляр на прямую в пространстве



3.4.19. Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве

16t-20+9t-24+4t-14 ; 29t=58 t=2

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве



3.4.20. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

Как найти расстояние между скрещивающимися прямымиПример: Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми ; Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми ; 3x+2(y+7)-6(z-2)=0

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми ; Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми



3.4.21. Когда две прямые пересекаются?

Когда две прямые пересекаютсяКогда две прямые пересекаются

Когда две прямые пересекаются ; Когда две прямые пересекаются

Пример: Когда две прямые пересекаются ; Когда две прямые пересекаются

Когда две прямые пересекаются ; Когда две прямые пересекаются

Когда две прямые пересекаются





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru