1.4. Решение системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Система уравнений вида:

Системы линейных уравнений

называется линейной системой из n уравнений с m неизвестными.

(aij) коэффициенты при неизвестных x1, x2,...,xm

b1,b2,...,bn - свободные члены

Матрица А системы (*) состоит из коэффициентов aij, размера n*m .

Если неизвестные и свободные члены представим в виде:Если неизвестные и свободные члены представим в видеЕсли неизвестные и свободные члены представим в виде Если неизвестные и свободные члены представим в видеЕсли неизвестные и свободные члены представим в виде ,

то систему уравнений (*) мы можем переписать в виде: систему уравнений (*) мы можем переписать в виде(3)

Запись системы в виде (3) называют матричной формой записи системы линейных уравнений (*) .Следует особо обратить внимание на то, что m может быть неравно n . Если m=n и матрица А является невырожденой , то из соотношения (3) вытекает: Если m=n и матрица А является невырожденой (4)

Равенство (4) получается умножением (3) слева на А-1. Система (*) называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение. В противном случае система называется несовместной. Решить систему - означает найти все её решения.

Метод Гаусса

Расмотрим систему (*):Метод Гаусса

Припишем к матрице А матрицу-столбец В Припишем к матрице А матрицу-столбец ВПрипишем к матрице А матрицу-столбец В

Припишем к матрице А матрицу-столбец В: Припишем к матрице А матрицу-столбец ВПрипишем к матрице А матрицу-столбец В

Матрица H называется расширенной матрицей системы. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули называется треугольной.Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) состоит в том, что расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований мы приводим к треугольному виду. Если у нас при этом получается матрица вида: получается матрица видато, система решений не имеет.

Если треугольная матрица получается вида:бесконечно много решений ,то система имеет бесконечно много решений. При этом какие-то неизвестные обьявляются свободными, а остальные неизвестные могут быть выражены через них. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. Если матрица примет вид:имеет единственное решение ,то этом случае система имеет единственное решение.

Пример: Пример

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие её к треугольному виду, могут быть такими:

Элементарные преобразования расширенной матрицы~Элементарные преобразования расширенной матрицы~Элементарные преобразования расширенной матрицы

В итоге получим систему:В итоге получим систему

Откуда получим значения неизвестных: y = -7,25 x = 2,875 Откуда получим значения неизвестных: y = -7,25 x = 2,875

Пример: Пример

Пример~Пример~Пример~Пример

Пример

Пример

Пример

Пример Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.