Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений. Линейная алгебра и Аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений

1.1. Определители и матрицы

1.1.1. Понятие числовой матрицы

1.1.2. Определители второго порядка

1.1.3. Подматрица, минор, алгебраическое дополнение

1.1.4. Определители третьего порядка

1.1.5. Свойства определителей

1.1.6. Определители порядка n

1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1.2.1. Понятие системы линейных уравнений

1.2.2. Формулы Крамера

1.3. Матрицы. Операции над матрицами

1.3.1. Умножение матрицы на число

1.3.2. Сложение матриц

1.3.3. Произведение матриц

1.3.4. Транспонирование матриц

1.3.5. Понятие обратной матрицы

1.3.6. Нахождение обратной матрицы методом Крамера

1.3.7. Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера

1.3.8. Элементарные преобразования матриц

1.3.9. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

1.4. Решение системы линейных уравнений

1.4.1. Системы линейных уравнений. Основные понятия

1.4.2. Метод Гаусса

1.5. Исследование систем линейных уравнений

1.5.1. Теоремы о ранге матриц

1.5.2. Исследование систем линейных уравнений

1.5.3. Теорема Кронекера-Капелли

1.5.4. Однородные системы линейных уравнений

1.5.5. Свойства решений линейной однородной системы уравнений



1.1. Определители и матрицы



1.1.1. Понятие числовой матрицы

Числовая матрица – прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов. Размеры матрицы обозначаются M * N, где M-число строк, N-число столбцов.

Пример:

A= Числовая матрица или A=Числовая матрица

Общее обозначение:

A=Числовая матрица или A=Числовая матрица

, где элемент матрицы- элемент матрицы, находящийся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца: i-ой строки j-ого столбца

Если M=N, то матрица называется квадратной. В этом случае

N – ее порядок. В квадратной матрице выделяются две диагонали – главная и побочная:

. .           . .

. . главная . . . побочная

. .           . .

Пример:

A = Пример главную диагональ образуют эл-ты:

главную диагональ образуют эл-ты , а побочную побочную



1.1.2. Определители второго порядка

Пусть дана матрица второго порядка A= дана матрица второго порядка.

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

вычисляемое по правилу

Определитель второго порядка равен произведению элементов

Главной диагонали минус произведение элементов Побочной диагонали.

Главной диагонали минус произведение элементов = 1*(-4)-6 = -10



1.1.3. Подматрица, минор, алгебраическое дополнение

Пусть дана какая-либо матрица (например, порядка 3):

А= дана какая-либо матрица

Подматрицей матрицы А называется часть этой матрицы, полученная вычеркиванием какого-либо количества строк, и(или) какого-либо количества столбцов.

Например, если вычеркнуть первую строку и второй столбец ,то получим подматрицу даной матрицы:

получим подматрицу даной матрицы

Минором Минором элемента элемента определителя определителя называется определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента Алгебраическим дополнением называется минор, взятый со знаком “+” или - ” в зависимости от места этого элемента в определителе.

Обозначение: Обозначение=ОбозначениеОбозначение

Если i+j - четное число , то знак алгебраического дополнения

и минора одинаковы, если нечетное , то их знаки противоположны.

Символически покажем положительные и отрицательные места в определителе:

положительные и отрицательные места в определителе или положительные и отрицательные места в определителе



1.1.4. Определители третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:

= Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу =

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Заменим алгебраические дополнения на миноры:

алгебраические дополнения на миноры = алгебраические дополнения на миноры

= алгебраические дополнения на миноры - алгебраические дополнения на миноры + алгебраические дополнения на миноры

Вычисляя миноры, получим:

= Вычисляя миноры, получим

Вычисляя миноры, получим



1.1.5. Свойства определителей

Свойство 1.

При замене строк на столбцы определитель не меняется.

При замене строк на столбцы определитель не меняется = При замене строк на столбцы определитель не меняется

(такая операция называется транспонированием).

Следствие: строки и столбцы равноправны ,т.е любые свойства или утверждения относительно строк справедливы и для столбцов и наоборот.

Свойство 2.

При перестановке двух строк определитель меняет знак

на противоположный.

При перестановке двух строк определитель меняет знак = - При перестановке двух строк определитель меняет знак

Следствие: любую строку (столбец ) можно поставить первой (первым)

Свойство 3.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Определитель с двумя равными строками равен нулю = 0

Свойство 4.

Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя.

Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя

Следствие :

Постоянный множитель можно внести в какую-нибудь строку

Постоянный множитель можно внести в какую-нибудь строку Постоянный множитель можно внести в какую-нибудь строку

Свойство 5.

Если элементы какой –либо строки состоят из двух слагаемых,

то определитель можно представить в виде суммы двух определите-

лей.

в виде суммы двух определите- в виде суммы двух определите- в виде суммы двух определите-

Свойство 6.

Определитель не меняется ,если любую строку умножить на любое

число и прибавить к любой другой строке.

Определитель не меняетсяОпределитель не меняется

Случаи ,когда определитель равен нулю:

  1. Все элементы какой-либо строки равны нулю
  2. Две строки одинаковы
  3. Элементы двух строк пропорциональны


1.1.6. Определители порядка n

Вычисление определителей порядка n.

Для вычисления порядка n используется метод разложения по cтроке.

Для вычисления порядка nДля вычисления порядка n Для вычисления порядка n

Алгебраическое дополнение получается вычеркиванием i-строки

и j-столбца. Этот процесс мы будем продолжать до тех пор пока

не получим определители порядка 2 или 3

получим определители порядка 2 или 3 получим определители порядка 2 или 3 получим определители порядка 2 или 3

Формулу (1) используют как правило при i=1

Пример:

используют как правило при i=1 используют как правило при i=1 используют как правило при i=1



1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера



1.2.1. Понятие системы линейных уравнений

Система линейных уравнений порядка n имеет вид:

Система линейных уравнений порядка n имеет вид

называются коэфициентами при неизвестных При этом числа -называются коэфициентами при неизвестных

называются коэфициентами при неизвестных

свободные члены -свободные члены

Матрица называется матрицей системыМатрица называется матрицей системы Матрица называется матрицей системы

Числа решение системы - решение системы,если при подстановке этих чисел в систему каждое из уравнений системы превращается в верное числовое тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение.

Если система линейных уравнений не имеет решений , то система называется несовместной.



1.2.2. Формулы Крамера

Расмотрим систему уравнений (*). И пусть А- матрица системы

А- матрица системы

Если i –столбец заменим свободными членами , то соответствующую матрицу обозначим

i –столбец заменим свободными членами

Если система линейных уравнений (*) такова, что определитель

системы отличен от нуля ,то система линейных уравнений имеет

единственое решение , которое находится по формуле:

имеетединственое решениеединственое решение



1.3. Матрицы. Операции над матрицами

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют один и тот же порядок и если элементы стоящие на соответствующих местах равны.

Две матрицы A и B называются равными Две матрицы A и B называются равнымиДве матрицы A и B называются равными

К линейным операциям относятся :



1.3.1. Умножение матрицы на число

Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:

Умножение матрицы на числоУмножение матрицы на числоУмножение матрицы на число



1.3.2. Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров:

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций

Если матрица в качестве элементов имеет нули, то такая матрица называется нулевой.



1.3.3. Произведение матриц

Произведение матриц Произведение матрицПроизведение матриц

Произведение матриц Произведение матрицПроизведение матриц

Произведение матриц

Произведение матрицПроизведение матриц

Произведение матриц

Пример:

Пример: Пример:

Пример:.Пример:=Пример:=Пример:

Пример:.Пример:=Пример:

Пример:.

Если для матриц А и В выполняется равенство А* В=В*А, то матрицы называются перестановочными.

Если для матриц А, В, С имеет смысл операция произведения, то выполняются равенства

A(B*C)=(A*B)*C

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA



1.3.4. Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицы

Транспонирование матриц Транспонирование матриц

AT называется транспонированной по отношению к A

Если AT получена из матрицы А заменой строк на столбцы то

Транспонирование матриц

назавают главной диагональю назавают главной диагональю

Очевидно:

Если для квадратной матрицы выполняется условие

Если для квадратной матрицы выполняется условие

то матрица А называется симметричной и в этом случае достаточно указать элементы, стоящие на главной диагонали и элементы, стоящие над главной диагональю.



1.3.5. Понятие обратной матрицы

Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят

единицы, а вне главной диагонали - нули, называется единичной матрицей.

Например, единичная матрица второго порядка:

единичная матрица второго порядкаединичная матрица второго порядка

Теорема.

Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n, то определитель их произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей:

Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n

Определение обратной матрицы:

Матрица В называется обратной для матрицы А, если А и В перестановочны и А*В=В*А=Е

Обозначение обратной матрицы:

Обозначение обратной матрицы Обозначение обратной матрицы

Теорема.

Если матрица А имеет обратную, то ее определитель отличен от нуля.

Доказательство.

Так как А имеет обратную матрицу, то

Так как А имеет обратную матрицу, то Так как А имеет обратную матрицу, то

Воспользуемся теоремой о том, что определитель произведения

равен произведению определителей.

равен произведению определителейравен произведению определителей

что и требовалось доказать.



1.3.6. Нахождение обратной матрицы методом Крамера

Теорема.

Если квадратная матрица А имеет определитель отличный от нуля, то данная матрица имеет обратную.

Доказательство.

Пусть матрица А такова, что её определитель отличен от нуля.

Докажем, что существует матрица В, такая что:

Нахождение обратной матрицы методом Крамера*Нахождение обратной матрицы методом Крамера=Нахождение обратной матрицы методом Крамера

 

Отсюда, в частности, следует:

Нахождение обратной матрицы методом КрамераНахождение обратной матрицы методом Крамера

Система (3) –из трех уравнений с тремя неизвестными, и т.к. определитель системы (3) по условию отличен от нуля, то эту систему можно решить методом Крамера причем решение (3) - единственно.

Аналогично можно доказать существование и единственность всех остальных элементов матрицы В.



1.3.7. Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера

Первоначально находим определитель матрицы А и если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Если определитель отличен от нуля, то находим союзную

определитель отличен от нуля матрицу

состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

алгебраических дополнений элементов матрицы Аалгебраических дополнений элементов матрицы А



1.3.8. Элементарные преобразования матриц

Эквивалентные матрицы.

К элементарным преобразованиям относятся:

  1. умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля;
  2. пример

    умножение любой строки матрицы на число , отличное от нуля= умножение любой строки матрицы на число , отличное от нуля

  3. к любой строке можно добавить любую другую строку, умноженую на любое число;
  4. перестановка двух строк.

Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований называются эквивалентными

А~ В, В~ С, А~ С



1.3.9. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Расмотрим квадратную матрицу А и предположим, что

Расмотрим квадратную матрицу А и предположим , что

тогда используя элементарные преобразования эту матрицу можно привести к единичной матрице .Таким образом единичная

матрица эквивалентна любой невырожденой матрице того же порядка.

Теорема

Если элементарные преобразования:

Если элементарные преобразования

переводят невырожденую матрицу А в единичную, то те же самые преобразования, взятые в том же порядке, переводят

единичную матрицу в обратную для A.

Доказательство:

единичную матрицу в обратную для A единичную матрицу в обратную для A

единичную матрицу в обратную для A

отсюда

единичную матрицу в обратную для Aединичную матрицу в обратную для A



1.4. Решение системы линейных уравнений



1.4.1. Системы линейных уравнений. Основные понятия

Система уравнений вида:

Системы линейных уравнений

называется линейной системой из n уравнений с m неизвестными.

(aij) коэффициенты при неизвестных x1, x2,...,xm

b1,b2,...,bn - свободные члены

Матрица А системы (*) состоит из коэффициентов aij, размера n*m .

Если неизвестные и свободные члены представим в виде:Если неизвестные и свободные члены представим в видеЕсли неизвестные и свободные члены представим в виде Если неизвестные и свободные члены представим в видеЕсли неизвестные и свободные члены представим в виде ,

то систему уравнений (*) мы можем переписать в виде: систему уравнений (*) мы можем переписать в виде(3)

Запись системы в виде (3) называют матричной формой записи системы линейных уравнений (*) .Следует особо обратить внимание на то, что m может быть неравно n . Если m=n и матрица А является невырожденой , то из соотношения (3) вытекает: Если m=n и матрица А является невырожденой (4)

Равенство (4) получается умножением (3) слева на А-1. Система (*) называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение. В противном случае система называется несовместной. Решить систему - означает найти все её решения.



1.4.2. Метод Гаусса

Расмотрим систему (*):Метод Гаусса

Припишем к матрице А матрицу-столбец В Припишем к матрице А матрицу-столбец ВПрипишем к матрице А матрицу-столбец В

Припишем к матрице А матрицу-столбец В: Припишем к матрице А матрицу-столбец ВПрипишем к матрице А матрицу-столбец В

Матрица H называется расширенной матрицей системы. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули называется треугольной. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) состоит в том, что расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований мы приводим к треугольному виду. Если у нас при этом получается матрица вида: получается матрица видато, система решений не имеет.

Если треугольная матрица получается вида:бесконечно много решений ,то система имеет бесконечно много решений. При этом какие-то неизвестные обьявляются свободными, а остальные неизвестные могут быть выражены через них. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. Если матрица примет вид:имеет единственное решение ,то этом случае система имеет единственное решение.

Пример: Пример

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие её к треугольному виду, могут быть такими:

Элементарные преобразования расширенной матрицы~Элементарные преобразования расширенной матрицы~Элементарные преобразования расширенной матрицы

В итоге получим систему:В итоге получим систему

Откуда получим значения неизвестных: y = -7,25 x = 2,875 Откуда получим значения неизвестных: y = -7,25 x = 2,875

Пример: Пример

Пример~Пример~Пример~Пример

Пример

Пример

Пример

Пример Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример



1.5. Исследование систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений.

Задача: определить:

  • Совместна или нет данная система
  • Если совместна, то сколько имеет решений а) единственное б) бесконечное множество

Понятие ранга матрицы

А=(Понятие ранга матрицы) i=Понятие ранга матрицы j=Понятие ранга матрицы

Возьмем в матрице К строк и К столбцов, тогда элементы матрицы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка К. Определитель этой квадратной матрицы называется минором порядка К для матрицы А.

Опр.1. Наибольший порядок минора матрицы, отличный от нуля называется рангом матрицы.

Опр.2. Число r(A)=k называется рангом матрицы А, если среди миноров порядка k есть по крайней мере один, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.

Понятие ранга матрицы М=Понятие ранга матрицы=0 М=Понятие ранга матрицы=-20 М=Понятие ранга матрицы=0 М=Понятие ранга матрицы=3 Ранг равен 3.

Совершенно очевидно, что нулевой ранг имеет только нулевая матрица. Если матрица не нулевая то её ранг1. С другой стороны если матрица имеет порядок MxN, то r(A)min(M,N).



1.5.1. Теоремы о ранге матриц

Теорема 1

Если матрица А эквивалентна матрице B, то ранг матрицы А равен рангу матрицы B (элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы).

Доказательство

Для докозательства достаточно доказать, что каждое из преобразований не может изменить ранга матрицы.

1) А~B B получена умножением строки(столбца) на отличное от нуля число.

А=А~B	B получена умножением строки(столбца) на отличное от нуля число B=А~B	B получена умножением строки(столбца) на отличное от нуля число

Если i-я строка не входит в выделенный минор то миноры матриц А и B совпадают. Если i-я строка входит в выделенный минор В=А(по св-ву определителей). Если минор А был отличен от нуля, то В будет отличен от нуля. Таким образом умножение на отличное от нуля число не изменяет ранг матрицы.

2) A~B B получена прибавлением строк

А=A~B	B получена прибавлением строк В=A~B	B получена прибавлением строк

 

Если выбранные строки не содержат i-й строки, то соответствующие миноры матриц А и В полностью совпадают. Если минор матрицы А=0, то и минор матрицы В=0, если минор матрицы А0, то и минор матрицы В0.

Если выбранные миноры содержат i-ю и j-ю строки, тогда М(А)=А=Если выбранные миноры содержат i-ю и j-ю строки, тогда

В=Если выбранные миноры содержат i-ю и j-ю строки, тогда

минор В получен из А путем прибавления строки.

Элементарные преобразования получаются с помощью конечного числа преобразований 1 и 2 типа и по уже доказанному на каждом из шагов ранг матрицы не меняется. Следовательно, он не изменится и за конечное число шагов. Ранг матрицы не меняется, если произведено конечное число элементарных преобразований.

Теорема 2

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Вычисление ранга матрицы

Используя утверждение доказанной теоремы, легко вычислить ранг матрицы

  1. с помощью элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому виду.
  2. считается число ненулевых строк ступенчатой матрицы

Ясно, что если матрица является квадратной и невырожденной, то её ранг равен порядку этой матрицы.

ПРИМЕР

Вычисление ранга матрицы~ Вычисление ранга матрицы~ Вычисление ранга матрицы

Ответ: r(A)=2



1.5.2. Исследование систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

(*)Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

А=() H=Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

 



1.5.3. Теорема Кронекера-Капелли

Система ур-ний (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы r(A)=r(H)

Если система совместна, то она имеет единственное решение, если r(A)=r(H)=n и его можно найти методами Крамера или Гаусса.

Если r(A)=r(H)=k<n, то система имеет бесконечно много решений. В этом случае n-k неизвестных обьявляются свободными неизвестными (принимают любые значения), оставшиеся k неизвестных выражаются через эти свободные неизвестные.



1.5.4. Однородные системы линейных уравнений

Если в системе (*) все свободные члены все свободные члены равны нулю, то такая система является однородной.

Однородные системы всегда совместны т.к. ====0 всегда является решением. Такое решение называется тривиальным.

1) все свободные члены то все свободные члены

2) Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечно много решений



1.5.5. Свойства решений линейной однородной системы уравнений

1) Если Свойства решений линейной однородной системы уравнений является решением системы, то Свойства решений линейной однородной системы уравнений также является решением.

Доказательство.

Свойства решений линейной однородной системы уравнений

Свойства решений линейной однородной системы уравнений

Свойства решений линейной однородной системы уравнений

2) Если Свойства решений линейной однородной системы уравнений является решением системы

также является решением той же самой системы, то и также является решением той же самой системы, то и

также является решением системы также является решением системы

Доказательство.

также является решением системы

+

также является решением системы

откуда получим откуда получим

3) Если откуда получим и откуда получим два различных решения системы, то их линейная комбинация, равная их линейная комбинация, равная

также является решением системы.

Доказательство.

Доказательство

+

Доказательство

откуда получим откуда получим

Каждое из решений системы можно записать в виде строки

матрицыКаждое из решений системы можно записать в виде строки, тогда на основании свойств можно утверждать, что матрицы есть решения, то также являются решением. Минимальная возможная система решений через которую выражаются все остальные решения называется фундаментальной системой решений.

Пример.

Пример

Пример~Пример~Пример

{Пример {Пример

{Пример{Пример

ПримерПример

Линейная алгебра и аналитическая геометрия





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru