2.1. Вектор. Линейные операции над векторами

Геометрический вектор. Понятие вектора

Вектор: отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

Геометрический вектор Обозначается: Геометрический вектор

Два вектора Геометрический вектор равны, если они совпадают при параллельном переносе.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами.

А) Умножение вектора на число.

Б) Сложение векторов

1) Сложение векторов

2) Сложение векторов

3) - длину вектора умножить на и оставить направление вектора если Сложение векторов

Таким образом операции обладают св-ми.

1) Сложение векторов

2) Сложение векторов

Вектор у которого начало и конец совпадают есть нулевой вектор

3) Сложение векторов

4) Сложение векторов

5) Сложение векторов

6) Сложение векторов

7) Сложение векторов

8) Сложение векторов

Вычитание - обратное сложению.

Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости.

Определение 1. Система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости называется линейно зависимой, если сущ. числа Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости не все равные 0, такие что Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (1)

Система векторовЛинейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости=0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Определение 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теорема 1. Если система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Доказательствово. Пусть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости, тогда Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Теорема 2. Если к системе линейно зависимых векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Доказательство. Т.К. система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости линейно зависима, то есть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости не все равные нулю, такие что Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (2) Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (3)

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (4)

Есть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости,

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости0 -не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.

Теорема о линейной зависимости двух векторов

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

коллинеарны-коллинеарны

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Доказательство. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Для и пл-ть , что (или //) и Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарныТри вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны либо , либо // ей они компланарны.

Теорема. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Доказательство.

Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы

Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы -угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная система линейно независимых векторов.

система линейно независимых векторов

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов

Операции над векторами в координатной форме.

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме Операции над векторами в координатной форме Операции над векторами в координатной форме

нач.точка -нач.точка кон.точка-кон.точка

направляющие косинусы

направляющие косинусы

направляющие косинусы

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.