Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

2. Векторная алгебра. Линейная алгебра и Аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

2. Векторная алгебра

2.1. Вектор. Линейные операции над векторами

2.1.1. Геометрический вектор. Понятие вектора

2.1.2. Линейные операции над векторами

2.1.3. Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости

2.1.4. Теорема о линейной зависимости двух векторов

2.2. Произведение векторов

2.2.1. Скалярное произведение векторов

2.2.2. Векторное произведение векторов

2.2.3. Смешанное произведение векторов



2.1. Вектор. Линейные операции над векторами



2.1.1. Геометрический вектор. Понятие вектора

Вектор: отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

Геометрический вектор Обозначается: Геометрический вектор

Два вектора Геометрический вектор равны, если они совпадают при параллельном переносе.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.



2.1.2. Линейные операции над векторами

А) Умножение вектора на число.

Б) Сложение векторов

1) Сложение векторов

2) Сложение векторов

3) - длину вектора умножить на и оставить направление вектора если Сложение векторов

Таким образом операции обладают св-ми.

1) Сложение векторов

2) Сложение векторов

Вектор у которого начало и конец совпадают есть нулевой вектор

3) Сложение векторов

4) Сложение векторов

5) Сложение векторов

6) Сложение векторов

7) Сложение векторов

8) Сложение векторов

Вычитание - обратное сложению.



2.1.3. Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости

Определение 1. Система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости называется линейно зависимой, если сущ. числа Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости не все равные 0, такие что Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (1)

Система векторовЛинейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости=0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Определение 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теорема 1. Если система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Доказательствово. Пусть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости, тогда Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Теорема 2. Если к системе линейно зависимых векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Доказательство. Т.К. система векторов Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости линейно зависима, то есть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости не все равные нулю, такие что Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (2) Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (3)

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости (4)

Есть Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости,

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости0 -не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.



2.1.4. Теорема о линейной зависимости двух векторов

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

коллинеарны-коллинеарны

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Доказательство. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Для и пл-ть , что (или //) и Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарныТри вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны либо , либо // ей они компланарны.

Теорема. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Доказательство.

Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы

Теор.	В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы -угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная система линейно независимых векторов.

система линейно независимых векторов

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов

Операции над векторами в координатной форме.

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме

Операции над векторами в координатной форме Операции над векторами в координатной форме Операции над векторами в координатной форме

нач.точка -нач.точка кон.точка-кон.точка

направляющие косинусы

направляющие косинусы

направляющие косинусы



2.2. Произведение векторов



2.2.1. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов наз-ся скалярное произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов

Если вектор нулевой, то все произведения - ноль

Свойства скалярного произведения
    1. Если и ортоганальны , то
    2. Св-ва скалярного произведения если Св-ва скалярного произведения; Св-ва скалярного произведения если Св-ва скалярного произведения
    3. коммутативность (коммутативность)
    4. дистрибутивность (дистрибутивность)
    5. Св-ва скалярного произведения
    6. ==
(скалярное произведение в координатах)

Условие ортоганальности векторов Условие ортоганальности векторов

Условие коллинеарности векторов Условие коллинеарности векторов

Скалярный квадрат Скалярный квадрат

Скалярный квадрат Скалярный квадрат

Скалярный квадрат Скалярный квадрат



2.2.2. Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Ориентация базиса

Декартов прямоугольный Декартов прямоугольный базис на плоскости

базис на плоскости Декартов прямоугольныйДекартов прямоугольный базис в пространстве

Правой тройкой векторов называется такая тройка, что если смотреть с конца вектора , то поворот от происходит в положительном направлении (против часовой стрелки).

Определение: Векторным произведением, 2-х векторов называется вектор , такой что

1) правая тройка-правая тройка

2)

3)

Свойства векторного произведения
  1. Если 2 вектора коллиниарны , их произведение =0
  2. Свойства векторного произведения

  3. Если поменять местами сомножители, меняется знак
  4. антикоммутативность (антикоммутативность)

Пример.

Пример Пример



2.2.3. Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

===

Смешанное произведение векторов

Свойства смешанного произведения
  1. Свойства смешанного произведения
  2. Свойства смешанного произведения Свойства смешанного произведения
  3. Свойства смешанного произведения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru