4.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояния которых от заданных на той же плоскости точки (фокуса параболы) и прямой (директрисы параболы) равны между собой.

Пусть точка F – фокус; прямая KL – директриса параболы; М – произвольная точка параболы.

По определению параболы:

Парабола(3.29),

где В – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису KL.

Введем обозначение , где – основание перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису; величину , расстояние от фокуса до директрисы, называют параметром параболы.

Для вывода простейшего уравнения параболы оси координат расположим следующим образом: начало координат поместим в точку О – середину отрезка ; за ось примем прямую, которой принадлежит отрезок , причем за положительное ее направление примем направление от точки О к фокусу F; ось направим перпендикулярно оси , т. е. параллельно директрисе.

При таком выборе осей координаты фокуса будут координаты фокуса, а уравнение директрисы уравнение директрисы.

Для точки , лежащей на параболе, имеем:

лежащей на параболе, лежащей на параболе;

подставляя эти значения в равенство (3.29), получаем:

лежащей на параболе(3.30).

Возведем обе части уравнения (3.30) в квадрат, одновременно раскрывая скобки:

Возведем обе части уравнения (3.30) в квадрат, одновременно раскрывая скобки.

Приводя подобные члены, получим простейшее (каноническое) уравнение параболы:

Приводя подобные члены, получим простейшее (каноническое) уравнение параболы(3.31).

Построим параболу по этому уравнению.

Прежде всего отметим, что вся парабола расположена справа от оси остроим параболу по этому уравнению; в самом деле, в уравнении (3.31) левая часть неотрицательна (остроим параболу по этому уравнению), в правой части остроим параболу по этому уравнению; следовательно, и второй множитель правой части неотрицателен: .

Поскольку в уравнение (3.31) текущая координата входит только во второй степени, заключаем, что ось является осью симметрии параболы. При и : парабола проходит через начало координат; эту точку называют вершиной параболы.

При возрастании одновременно возрастает и абсолютная величина , ибо одновременно возрастает и абсолютная величина.

При построении параболы полезно помнить, что ордината точки параболы, лежащей над ее фокусом, равна параметру параболы ; в самом деле, при из уравнения параболы (3.31) находим:

уравнения параболы (3.31) находим,

откуда.

Таким образом, длина хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы, равна .

Если повернуть параболу относительно осей координат на угол против часовой стрелки, то в уравнении (3.31) координаты и поменяются местами и уравнение такой параболы запишется так:

 

(3.32)

Вершиной этой параболы по-прежнему является начало координат, но осью симметрии будет служить ось ; парабола лежит над осью . Фокусом этой параболы будет точка Фокусом этой параболы будет точка ; директрисой – прямая директрисой – прямая (рис. 3.8).

Нетрудно далее убедиться в том, что уравнения:

Нетрудно далее убедиться в том, что уравнения(3.33)

и

Нетрудно далее убедиться в том, что уравнения(3.34)

(в обоих случаях ) также определяют параболы, которые от парабол, определяемых уравнениями (3.31) и (3.32), отличаются только тем, что они направлены в сторону, противоположную направлению соответствующих координатных осей: первая – вдоль отрицательной оси , вторая – вдоль отрицательной оси .

Рекомендуем читателю самому найти координаты фокусов этих парабол и уравнения их директрис.

Уравнения парабол (3.31) и (3.33) можно записать в виде единого уравнения:

Уравнения парабол (3.31) и (3.33) можно записать в виде единого уравнения(3.31`),

а уравнения парабол (3.32) и (3.34) – в виде уравнения:

а уравнения парабол (3.32) и (3.34) – в виде уравнения(3.32`),

если в уравнениях (3.31') и (3.32') рассматривать как коэффициент, принимающий и положительные, и отрицательные значения (параметр параболы будет равен ).

При парабола будет направлена в положительном направлении соответствующей оси координат, а при – в отрицательном.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.