4.1. Кривые второго порядка. Окружность

Геометрическое место точек называется алгебраической кривой, если левая часть его уравнения в декартовых координатах после упрощения и переноса всех членов в одну часть равенства будет многочленом относительно x и y. Степень этого многочлена, т. е. наибольшая из сумм показателей степеней x и y членов многочлена, называется порядком этой кривой. Можно доказать (это будет ниже доказано только для кривых второго порядка), что порядок алгебраической кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости; иными словами, степень уравнения данной кривой остается одной и той же, к какой бы системе прямоугольных координат ее ни относить.

Всякое уравнение вида уравнение первой степени относительно x и y,, т. е. уравнение первой степени относительно x и y, всегда определяет на плоскости некоторую прямую; таким образом, кривые первого порядка – это прямые линии.

К кривым второго порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени относительно x и y может определять две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Кривые второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – играют большую роль в прикладных вопросах. Напомним, что планеты солнечной системы в соответствии с первым законом Кеплера движутся вокруг Солнца по эллипсам; по эллипсам же движутся вокруг планет их спутники (в частности, искусственные спутники Земли); наконец, кометы, зашедшие в солнечную систему из мирового пространства, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости, с которой комета приближается к Солнечной системе.

Кривые второго порядка начнем изучать с простейших из них – окружности.

Окружность.

Как известно, уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

уравнение окружности радиуса(3.1).

Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести в левую часть равенства, то уравнение примет вид:

уравнение окружности радиуса(3.1`).

Геометрический смысл уравнения не изменится, если все его члены умножить на один и тот же, отличный от нуля и не зависящий от и множитель ; введем обозначения – Геометрический смысл уравнения не изменится, – Геометрический смысл уравнения не изменится, Геометрический смысл уравнения не изменится.

Уравнение (3.1') запишется тогда в виде:

Уравнение (3.1') запишется тогда в виде(3.2).

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (3.2) является уравнением некоторой окружности?

Чтобы ответить на этот вопрос, проделаем обратное преобразование уравнения (3.2) к виду (3.1), считая коэффициенты A, D, E и F произвольными (но ).

Разделим все члены уравнения (3.2) на А и введем обозначения: является уравнением некоторой окружности, является уравнением некоторой окружности, является уравнением некоторой окружности; тогда уравнение (3.2) примет вид:

является уравнением некоторой окружности(3.2`).

Дополняя члены с x и y до полных квадратов и перенося член Дополняя члены с x и y до полных квадратов и перенося член направо, придадим уравнению (3.2') вид:

Дополняя члены с x и y до полных квадратов и перенося член(3.3).

Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным, отрицательным или нулем.

1. Если Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным, то положим Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным.

Уравнение (3.3) запишется в виде:

Уравнение (3.3) запишется в виде(3.3`)

и является, как известно, уравнением окружности радиуса R с центром в точке .

2. Если Уравнение (3.3) запишется в виде, то уравнение (3.3) принимает вид:

Уравнение (3.3) запишется в виде(3.3``).

Ему удовлетворяют только значения , (сумма двух квадратов может быть равна нулю только тогда, когда одновременно равен нулю каждый из них); таким образом, уравнению (3.3'') удовлетворяет единственная точка плоскости . Но, впрочем, можно говорить, что уравнение (3.3'') и в этом случае является уравнением окружности, но окружности, выродившейся в точку (окружности с нулевым радиусом).

3. Если , то полагая , приводим уравнение (3.3) к виду:

приводим уравнение (3.3) к виду(3.3```).

Поскольку сумма квадратов двух вещественных чисел не может быть числом отрицательным, то на плоскости xOy не существует точек, которые удовлетворяли бы уравнению (3.3'''). Поэтому уравнение (3.3''') не определяет никакой кривой; иногда говорят, впрочем, что уравнение (3.3''') является уравнением мнимой окружности.

Только учитывая это последнее замечание, можно говорить, что уравнение (3.2) всегда определяет окружность (вещественную, выродившуюся в точку или мнимую).

Примеры.

1. Уравнение x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 приводится к виду (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 и определяет окружность радиуса R = 5 с центром в точке С(2;–3).

2. Уравнение x2 + y2 + 2x + 1 = 0 приводится к виду (x + 1)2 + y2 = 0 и определяет единственную точку С(–1;0).

3. Уравнение x2 + y2 + 4x + 2y + 7 = 0 приводится к виду (x + 2)2 + (y + 1)2 = – 2 и никакой вещественной кривой не определяет (мнимая окружность).

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.