9. Планиметрия

— раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

9.1. Треугольник

Обозначения:

вершины: A, B, C;

стороны: a, b, c;

внутренние углы: a , b , g ;  

полупериметр: ,

радиус вписанной окружности: r, радиус описанной окружности: R,

площадь: S.

 

9.1.1. Основные величины и соотношения

Неравенства треугольника: .

Сумма внутренних углов треугольника: ;

теорема проекций: ;

теорема синусов: ;

теорема косинусов: ;

 

9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

Точка пересечения медиан треугольника– центр тяжести.

Точка пересечения высот – ортоцентр.

Точка пересечения биссектрисс – центр вписанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Медианы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ma, mb, mc

.

Разбиение треугольника медианами:

;

;

.

Высоты, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ha, hb, hc

;

.

Биссектрисы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: la, lb , lc

.

Свойство биссектрисы треугольника:

.

 

9.1.3. Формулы площади треугольника

; ;

; ;

Формула Герона: .

 

9.1.4. Прямоугольный треугольник

Катеты: a, b; гипотенуза: c.

Теорема Пифагора: .

Соотношения между элементами:

; ;

;

; ;

;

 

или , где CD =hc - высота, опущенная на гипотенузу, .

Подобия в прямоугольном треугольнике:

: : ;

: : ;

: : .

 

9.1.5. Правильный треугольник

p=3a/2;

;

;

; .

 

9.2. Четырехугольники

Обозначения:

S – площадь, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – диагональ.

 

9.2.1. Квадрат

S=a2;

.

 

9.2.2. Прямоугольник

p=a+b (p - полупериметр)

S=ab

 

9.2.3. Параллелограмм

p=a+b (p - полупериметр)



 

9.2.4. Ромб

9.2.6. Трапеция

Свойства трапеции:

1. Во всякой трапеции середины оснований К, М лежат на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей О и точку пересечения продолжений боковых сторон.

2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

.

 

9.3. Окружность и круг

Длина окружности:;

длина дуги окружности:

; ; (n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга: ;

площадь кольца: ;

площадь сектора: ,

где a - величина дуги в градусах.

 

Свойства окружности:

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны: r ^ l.

2) отрезки касательных, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, равны: AB = AC

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;

диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

4) квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть:

AB2 = .

5) центры касающихся окружностей О1, О2 и точка их касания М лежат на одной прямой.

 

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

AD + BC = AB + CD.

 

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 1800:

.

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

 

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается:

 

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу:

 

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину:

Справочник по Школьной математике


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.