Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

9. Планиметрия. Справочник по Школьной математике

Справочник по Школьной математике

9. Планиметрия

— раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

9.1. Треугольник

9.1.1. Основные величины и соотношения

9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

9.1.3. Формулы площади треугольника

9.1.4. Прямоугольный треугольник

9.1.5. Правильный треугольник

9.2. Четырехугольники

9.2.1. Квадрат

9.2.2. Прямоугольник

9.2.3. Параллелограмм

9.2.4. Ромб

9.2.5. Трапеция

9.3. Окружность и круг



9.1. Треугольник

Обозначения:

вершины: A, B, C;

стороны: a, b, c;

внутренние углы: a , b , g ;  

полупериметр: ,

радиус вписанной окружности: r, радиус описанной окружности: R,

площадь: S.

9.1. Треугольник



9.1.1. Основные величины и соотношения

Неравенства треугольника: Неравенства треугольника.

Сумма внутренних углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника;

теорема проекций: теорема проекций;

теорема синусов: теорема синусов;

теорема косинусов: теорема косинусов;



9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

Точка пересечения медиан треугольника – центр тяжести.

Точка пересечения высот – ортоцентр.

Точка пересечения биссектрисс – центр вписанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Медианы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ma, mb, mc

Медианы 1.Медианы 2

Разбиение треугольника медианами:

Разбиение треугольника медианами 1;

Разбиение треугольника медианами 2;

Разбиение треугольника медианами 3.Разбиение треугольника медианами 4

Высоты, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ha, hb, hc

Высоты 1;Высоты 2

Высоты 3.

Биссектрисы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: la, lb , lc

Биссектрисы 1.Биссектрисы 2

Свойство биссектрисы треугольника:

Свойство биссектрисы треугольника.



9.1.3. Формулы площади треугольника

9.1.3. Формулы площади треугольника 1; 9.1.3. Формулы площади треугольника 2;

9.1.3. Формулы площади треугольника 3; 9.1.3. Формулы площади треугольника 4;

Формула Герона: Формула Герона.



9.1.4. Прямоугольный треугольник

Катеты: a, b; гипотенуза: c.

Теорема Пифагора: Теорема Пифагора.

Соотношения между элементами:

Соотношения между элементами 1; Соотношения между элементами 2;

Соотношения между элементами 3;

Соотношения между элементами 4; Соотношения между элементами 5;

Соотношения между элементами 6;

 

9.1.4. Прямоугольный треугольник

или , где CD =hc - высота, опущенная на гипотенузу, .

Подобия в прямоугольном треугольнике:

Подобия в прямоугольном треугольнике 1 : Подобия в прямоугольном треугольнике 2: Подобия в прямоугольном треугольнике 3;

Подобия в прямоугольном треугольнике 4 : Подобия в прямоугольном треугольнике 5: Подобия в прямоугольном треугольнике 6;

Подобия в прямоугольном треугольнике 7 : Подобия в прямоугольном треугольнике 8: Подобия в прямоугольном треугольнике 9.



9.1.5. Правильный треугольник

p=3a/2;

9.1.5. Правильный треугольник 1;

9.1.5. Правильный треугольник 2 9.1.5. Правильный треугольник 3; 9.1.5. Правильный треугольник 49.1.5. Правильный треугольник 5

9.1.5. Правильный треугольник 6; 9.1.5. Правильный треугольник 7.



9.2. Четырехугольники

Обозначения:

S – площадь, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – диагональ.



9.2.1. Квадрат

S=a2;

9.2.1. Квадрат 1

9.2.1. Квадрат 2 9.2.1. Квадрат 3.



9.2.2. Прямоугольник

p=a+b (p - полупериметр)

S=ab 9.2.2. Прямоугольник



9.2.3. Параллелограмм

p=a+b (p - полупериметр)

9.2.3. Параллелограмм 1

9.2.3. Параллелограмм 2
9.2.3. Параллелограмм 3
9.2.3. Параллелограмм 4

9.2.3. Параллелограмм 5

9.2.3. Параллелограмм 6



9.2.4. Ромб

9.2.4. Ромб 1 9.2.4. Ромб 2 9.2.4. Ромб 3



9.2.5. Трапеция

9.2.5. Трапеция 1

9.2.5. Трапеция 2 9.2.5. Трапеция 3 9.2.5. Трапеция 4

Свойства трапеции:

1. Во всякой трапеции середины оснований К, М лежат на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей О и точку пересечения продолжений боковых сторон.

Во всякой трапеции середины оснований К, М лежат на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей О и точку пересечения продолжений боковых сторон.

2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

.



9.3. Окружность и круг

Длина окружности:Длина окружности 1;Длина окружности 2 Длина окружности 3

длина дуги окружности:

; ; (n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга: Площадь круга;

площадь кольца: площадь кольца;

площадь сектора: площадь сектора,

где a - величина дуги в градусах.

Свойства окружности:

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны: r ^ l.

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны: r ^ l.

2) отрезки касательных, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, равны: AB = AC

2) отрезки касательных, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, равны:	AB = AC

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;

диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;

диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей

4) квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть:

4) квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть

AB2 = .

5) центры касающихся окружностей О1, О2 и точка их касания М лежат на одной прямой.

5) центры касающихся окружностей О1, О2 и точка их касания М лежат на одной прямой

 

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны

AD + BC = AB + CD.

 

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 1800:

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180

.

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается:

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается

 

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу:

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу

 

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину:

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину

Справочник по Школьной математике





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru