Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

Справочник по Высшей математике

Справочник по Высшей математике

1. Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

1.2. Матрицы

1.3. Системы линейных уравнений

2. Векторная алгебра

3. Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

3.1.2. Плоскость в пространстве

3.1.3. Прямая в пространстве

3.2. Кривые второго порядка

3.2.1. Окружность

3.2.2. Эллипс

3.2.3. Гипербола

3.2.4. Парабола

3.3. Поверхности второго порядка

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

4. Комплексные числа

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4.4. Показательная форма комплексного числа

4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

5. Введение в анализ

5.1. Функции. Общие свойства

5.2. Основные элементарные функции

5.3. Теория пределов

5.4. Непрерывность функции

6. Дифференциальное исчисление

6.1. Определение производной

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

6.4. Гиперболические функции

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

6.6. Исследование функций

7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

7.1.2. Основные методы интегрирования

7.1.3. Таблица интегралов

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

7.2.2. Приложения определенного интеграла



1. Линейная алгебра



1.1. Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D , det A,Обозначения определителя матрицы .

Определитель второго порядка: Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка:

Определитель третьего порядка 1Определитель третьего порядка 2

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке: Разложение определителя n-го порядка по i-й строке

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.



1.2. Матрицы

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов):

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов),

где ; .

Равенство матриц: Равенство матриц, если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: Квадратная матрица порядка n.

Сложение матриц: Сложение матриц, где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: Свойства сложения матриц, ассоциативность;

2) коммутативность: Свойства сложения матриц, коммутативность;

Умножение матрицы на число: Умножение матрицы на число.

Умножение матриц: Умножение матриц.

Свойства умножения матриц:

    1. ассоциативность: Свойства умножения матриц, ассоциативность;
    2. некоммутативность.
    3. определитель произведения квадратных матриц: определитель произведения квадратных матриц.

Транспонирование матрицы: Транспонирование матрицы.

Свойство транспонирования произведения матриц: Свойство транспонирования произведения матриц.

Невырожденная (неособая) матрица: Невырожденная (неособая) матрица.

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: Обратная матрица для невырожденной матрицы A.

Свойства обратной матрицы:

1) Свойства обратной матрицы 1;

2) Свойства обратной матрицы 2.

Виды матриц:

единичная матрица: единичная матрица

симметрическая матрица: симметрическая матрица 1 симметрическая матрица 2

ортогональная матрица: A - невырождена и

кососимметрическая матрица: кососимметрическая матрица;

матрица-строка: матрица-строка

матрица-столбец: матрица-столбец.

Ранг матрицы Ранг матрицы- наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.



1.3. Системы линейных уравнений

1.3. Системы линейных уравнений

неизвестные- неизвестные;

aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном;

свободные члены- свободные члены.

Матричный вид: Матричный вид, матрица системы - матрица системы,

столбец неизвестных

 

- столбец неизвестных,

столбец свободных членов

 

- столбец свободных членов.

Совместность системы: Совместность системы , где расширенная матрица системы - расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).

Формулы Крамера (n=m): Формулы Крамера (n=m),

определитель матрицы системы- определитель матрицы системы;

определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В-определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

Однородная система (B=0)

Если , то система имеет только нулевое решение .

Если , то существуют ненулевые решения.



2. Векторная алгебра

Наименование

Обозначение, формула

Вектор и его выражение в декартовых координатах

a=ax i+ay j+az k=(ax, ay, az)

Модуль (длина) вектора

Модуль (длина) вектора

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора

Сложение двух векторов

a+b=(ax+bx, ay+by ,az+bz)

Умножение вектора на скаляр

ka=(kax, kay, kaz)

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение в декартовых координатах

ab=axbx+ayby+azbz

Условие ортогональности двух ненулевых векторов

ab=0 a b

Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение двух векторов

, e a, e be - единичный вектор a, b, e - правая тройка векторов

Векторное произведение в декартовых координатах

Векторное произведение в декартовых координатах

Условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Условие коллинеарности двух ненулевых векторов a || b

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение в декартовых координатах

Смешанное произведение в декартовых координатах

Условие компланарности трех ненулевых векторов

abc=0 a, b, c - компланарныe векторы (лежат в одной плоскости)

Линейно независимая система векторов

{a1,a2,…,an} - линейно независима только при условии .



3. Аналитическая геометрия



3.1. Линейные образы



3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры

общее уравнение прямой на плоскости

общее уравнение прямой на плоскости

n=(A,B) - нормальный вектор прямой;

,, - координаты фиксированных точек на прямой;

k - угловой коэффициент прямой;

a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х;

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y;

q=(l,m) - направляющий вектор прямой

уравнение прямой, проходящей через данную точку

уравнение прямой, проходящей через данную точку

уравнение прямой с данным угловым коэффициентом

уравнение прямой с данным угловым коэффициентом

уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

уравнение прямой, проходящей через две точки

уравнение прямой, проходящей через две точки

уравнение прямой в отрезках

уравнение прямой в отрезках

каноническое уравнение прямой

каноническое уравнение прямой

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости 1; Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости 2,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

  1. Условия параллельности двух прямых на плоскости 1;
  2. Условия параллельности двух прямых на плоскости 2;
  3. Условия параллельности двух прямых на плоскости 3, где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

  1. n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B2=0;
  2. q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2=0;
  3. Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости


3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры

общее уравнение плоскости в пространстве

общее уравнение плоскости в пространстве

нормальный вектор плоскости - нормальный вектор плоскости;

координаты фиксированных точек на плоскости 1
координаты фиксированных точек на плоскости 2 - координаты фиксированных точек на плоскости;

a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

направляющие косинусы нормального вектора плоскости - направляющие косинусы нормального вектора плоскости;

p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость

уравнение плоскости, проходящей через три точки

уравнение плоскости, проходящей через три точки

уравнение плоскости в отрезках

 

уравнение плоскости в отрезках

нормальное уравнение плоскости 1

нормальное уравнение плоскости 2

нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 1Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 2Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 3.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями;

гденормальные векторы плоскостей 1 и нормальные векторы плоскостей 2 -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

Условие параллельности двух плоскостей.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B21С2=0.



3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры

общие уравнения прямой в пространстве

общие уравнения прямой в пространстве

нормальные векторы плоскостей 1 и
нормальные векторы плоскостей 2 - нормальные векторы плоскостей;

направляющий вектор прямой- направляющий вектор прямой;

координаты фиксированных точек на прямой 1,
координаты фиксированных точек на прямой 2,
координаты фиксированных точек на прямой 3- координаты фиксированных точек на прямой

канонические уравнения прямой в пространстве

канонические уравнения прямой в пространстве

параметрические уравнения прямой в пространстве

параметрические уравнения прямой в пространстве

уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве,

где направляющие векторы прямых 1 и направляющие векторы прямых 2- направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2+n1n2=0.



3.2. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

Общее уравнение кривой второго порядка.



3.2.1. Окружность

 

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение окружности.

Радиус окружности: a.

3.2.1. Окружность

Параметрическое уравнение:

Параметрическое уравнение

Уравнение в полярных координатах:

Уравнение в полярных координатах

Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами :

Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами



3.2.2. Эллипс

 

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение эллипса.

Полуоси эллипса: Полуоси эллипса.
Фокусное расстояние: c.
Фокусы:
Фокусы эллипса и, где .

3.2.2. Эллипс

 

Эксцентриситет:

Эксцентриситет 1, Эксцентриситет 2.

Параметрическое уравнение:

Параметрическое уравнение эллипса.



3.2.3. Гипербола

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение гиперболы.

Действительная полуось: a, мнимая полуось: b.
Фокусное расстояние: с.
Фокусы: Фокусы гиперболы 1 и Фокусы гиперболы 2, где .

3.2.3. Гипербола

Эксцентриситет: Эксцентриситет гиперболы 1; Эксцентриситет гиперболы 2;

Асимптоты: Асимптоты гиперболы

Параметрическое
уравнение:
Параметрическое уравнение гиперболы



3.2.4. Парабола

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение параболы,

Параметр: p.
Фокус: Фокус параболы;
директриса: директриса параболы.

3.2.4. Парабола



3.3. Поверхности второго порядка

Каноническое уравнение

Наименование

Параметры

Чертеж

 

Каноническое уравнение сферы

 

сфера

 

a – радиус

сфера

 

Каноническое уравнение эллипсоида.

 

 


эллипсоид

 

 


- полуоси

эллипсоид

 

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида

 

однополостный гиперболоид

 

-действитель-ные полуоси,

- мнимая полуось

однополостный гиперболоид

 

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида

 

двуполостный гиперболоид

 

-действитель-ная полуось, - мнимые полуоси

двуполостный гиперболоид

 

Каноническое уравнение эллиптического параболоида

 

эллиптический параболоид

 

- полуоси

эллиптический параболоид

 

Каноническое уравнение гиперболического параболоида

 

гиперболический параболоид

 

- полуоси

гиперболический параболоид

Каноническое уравнение конуса

 


конус

 


- полуоси

конус

 

Каноническое уравнение параболического цилиндра

 

параболический цилиндр

 

р - параметр

параболический цилиндр

 

Каноническое уравнение эллиптического цилиндра

 

 

эллиптический цилиндр

 

- полуоси

эллиптический цилиндр

 

Каноническое уравнение гиперболического цилиндра

 

 

гиперболический цилиндр

 

- полуоси

гиперболический цилиндр



3.4. Преобразование координат



3.4.1. Преобразование координат на плоскости

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

Параллельный перенос: Параллельный перенос,

 

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

Поворот: Поворот,

 

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j .

Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным координатам и обратно. ;

; ; ;



3.4.2. Преобразование координат в пространстве

Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:

; ; ;

Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:


,

, ;



4. Комплексные числа

Мнимая единица .



4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Алгебраическая форма комплексного числа, где a, b – действительные числа;

a - действительная часть комплексного числа,

b - мнимая часть комплексного числа;

Обозначения действительной и мнимой части: .

Модуль комплексного числа: .

Сопряжённые комплексные числа: и .



4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 1;

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 2;

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 3.



4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа,

где аргумент комплексного числа - аргумент комплексного числа, .



4.4. Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа.

Формула Эйлера: Формула Эйлера.



4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме 1,

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме 2,

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме 3,

где .

Формула Муавра: Формула Муавра.



5. Введение в анализ



5.1. Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: Аналитическое представление функции в явном виде;

в неявном виде: Аналитическое представление функции в неявном виде;

в параметрической форме: Аналитическое представление функции в параметрической форме;

разными формулами в области определения (a,c]: .

Четная функция: Четная функция.

Нечетная функция: Нечетная функция.

Периодическая функция: Периодическая функция, где T – период функции, .



5.2. Основные элементарные функции

 

Название

Формула

Частные случаи

1

Постоянная

Постоянная

2

Степенная функция

Степенная функция

;

; ;

;

3

Показательная функция

Показательная функция

4

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция

;

5

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции 1; Тригонометрические функции 2;

Тригонометрические функции 3; Тригонометрические функции 4.

 

6

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции 1;

Обратные тригонометрические функции 2;

Обратные тригонометрические функции 3;

Обратные тригонометрические функции 4

 

 

Графики основных элементарных функций:

Парабола

Гипербола

 

График показательной функции

График логарифмической фунгкции

Синусоида и косинусоида



5.3. Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: Обозначение.

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: Первый замечательный предел.

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: Второй замечательный предел, где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величины при :

x ~sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ex-1~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

Символическое обозначение

Содержание неопределенности

Пределы компонент при x ® a

a 1(x) ® 0

a 2(x) ® 0

b 1(x) ®¥

b 2(x) ®¥

a (x) ® 0

b (x) ®¥

b 1(x) ®¥

b 2(x) ®¥

g (x) ®1

b (x) ®¥

a 1(x) ® 0

a 2(x) ® 0

a (x) ® 0

b (x) ®¥



5.4. Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

    1. Эквивалентные условия 1;
    2. Эквивалентные условия 2, где ;
    3. Эквивалентные условия 3;
    4. Эквивалентные условия 4.

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.



6. Дифференциальное исчисление



6.1. Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x0

Производная функции в точке x0 и ее обозначения:



6.2. Основные правила дифференцирования

Наименование

Функция

Производная

Линейная комбинация двух функций

Частные случаи:

a) умножение на постоянный множитель

б) сумма (разность) двух функций

 

 

Произведение

а) двух функций

б) трех функций

 

 

Частное двух функций

Сложная функция

y=F(u), u=j (x)

Обратная функция

Параметрическое задание функции

Логарифмическое дифференцирование



6.3. Производные основных элементарных функций

№ п/п

Наименование функции

Функция и её производная

1

константа

константа

2

степенная функция

 

 
частные случаи

степенная функция

частные случаи

3

показательная функция

 
частный случай

показательная функция

частный случай

4

логарифмическая функция

 

 
частный случай

логарифмическая функция

частный случай

5

 

тригонометрические функции

тригонометрические функции 1;
тригонометрические функции 2;
тригонометрические функции 3;
тригонометрические функции 4;

6

обратные тригонометрические функции

обратные тригонометрические функции 1;
обратные тригонометрические функции 2;
обратные тригонометрические функции 3;
обратные тригонометрические функции 4



6.4. Гиперболические функции

Наименование

Формула

Производная

Гиперболический синус

Гиперболический синус формула

Гиперболический синус производная

Гиперболический косинус формула

Гиперболический косинус

Гиперболический косинус производная

Гиперболический тангенс

Гиперболический тангенс формула

Гиперболический тангенс производная

Гиперболический котангенс

Гиперболический котангенс формула

Гиперболический котангенс производная

 

Обратные гиперболические функции

Наименование

Формула

Производная

Ареасинус

Ареасинус формула

Ареасинус производная

Ареакосинус

Ареакосинус формула

Ареакосинус производная

Ареатангенс

Ареатангенс формула

Ареатангенс производная

Ареакотангенс

Ареакотангенс формула

Ареакотангенс производная

 

Графики гиперболических функций:

Графики гиперболических функций



6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) : Производная второго порядка функции y=f(x)

Производная n-го порядка (n-ая производная ) функции y=f(x):Производная n-го порядка (n-ая производная ) функции y=f(x)

Формула Тейлора:

Формула Тейлора

где остаточный член в форме Лагранжа - остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

Формула Маклорена (a=0)



6.6. Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

  1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
  2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
  3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
  4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.


7. Интегральное исчисление



7.1. Неопределенный интеграл



7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

  1. Производная неопределенного интеграла: Производная неопределенного интеграла.
  2. Дифференциал неопределенного интеграла: Дифференциал неопределенного интеграла.
  3. Неопределенный интеграл от дифференциала: Неопределенный интеграл от дифференциала.
  4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла



7.1.2. Основные методы интегрирования

  1. использование свойств неопределенного интеграла;
  2. подведение под знак дифференциала;
  3. метод замены переменной:
  4. а) замена в интеграле :

    где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;

    б) замена в интеграле вида :

    ;

  5. метод интегрирования по частям: метод интегрирования по частям.
  6.  



7.1.3. Таблица интегралов

№ п/п

Интегрируемая функция

Формула

1

 
Степенная функция 

 

частные случаи

Степенная функция

,

2

 
Показательная функция

 
частный случай

Показательная функция

3

 

Рациональные функции

Рациональные функции 1

Рациональные функции 2

4

Иррациональные функции

Иррациональные функции 1

Иррациональные функции 2

5

Тригонометрические функции

 

Тригонометрические функции  1

Тригонометрические функции  2

Тригонометрические функции 3

Тригонометрические функции 4

6

 

Содержит тригонометрические функции

Содержит тригонометрические функции 1

Содержит тригонометрические функции 2

Содержит тригонометрические функции 3



7.2. Определенный интеграл



7.2.1. Определения и свойства

, где

Свойства определенного интеграла

  1. Интеграл от суммы или разности двух функций: Интеграл от суммы или разности двух функций.
  2. Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:
  3. Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла.
  4. Свойство аддитивности: Свойство аддитивности.
  5. Неотрицательность интеграла: если ,, то Неотрицательность интеграла.
  6. Сохранение неравенства: если и , то Сохранение неравенства.
  7. Теорема о среднем: Теорема о среднем, где , - непрерывна на .
  8. Формула Ньютона-Лейбница: Формула Ньютона-Лейбница, где - первообразная для .
  9. Интегрирование по частям: Интегрирование по частям.
  10. Замена переменной:

а) Замена переменной 1

, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на

б) Замена переменной 2, где u=j (x), c=j (a), d=j (b).



7.2.2. Приложения определенного интеграла

Характеристика

Вид функции

Формула

площадь криволинейной трапеции

в декартовых координатах

площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах

площадь криволинейного сектора

в полярных координатах

площадь криволинейного сектора в полярных координатах

площадь криволинейной трапеции

в параметрической форме

площадь криволинейной трапеции в параметрической форме

длина дуги кривой

в декартовых координатах

длина дуги кривой в декартовых координатах

длина дуги кривой

в полярных координатах

длина дуги кривой в полярных координатах

длина дуги кривой

в параметрической форме

длина дуги кривой в параметрической форме

объём тела вращения

в декартовых координатах

объём тела вращения в декартовых координатах

объём тела с заданным поперечным сечением

 

объём тела с заданным поперечным сечением





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru