Примеры решения задач по алгебре

Задача 1.

Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера.

2x + 3y + z = 1

- x + 4y + 2z = - 1

x - 2z - 3z = - 3

Решение.

Запишем формулы Крамера: формулы Крамера; формулы Крамера; формулы Крамера.

Здесь: D - определитель системы;

D x – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

D y - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

D z – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

В нашем случае имеем.

В нашем случае имеем.

В нашем случае имеем.

В нашем случае имеем.

Теперь найдем значения неизвестных:

найдем значения неизвестных; найдем значения неизвестных; найдем значения неизвестных.

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения.

Задача 2.

Даны координаты вершины пирамиды координаты вершины пирамиды. Сделать

  1. длину ребра длину ребра.
  2. угол между ребрами угол между ребрами и угол между ребрами
  3. площадь грани площадь грани
  4. уравнение прямой уравнение прямой
  5. уравнение плоскости уравнение плоскости
  6. объем пирамиды объем пирамиды

объем пирамиды,объем пирамиды, объем пирамиды, объем пирамиды

Решение:

Решение

1) Длина ребра Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками Расстояние между точками и Расстояние между точками вычисляется по формуле вычисляется по формуле. Подставляя в эту формулу исходные данные, получим получим

2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:

формулы векторной алгебры формулы векторной алгебры формулы векторной алгебры

В нашем случае В нашем случае, В нашем случае. Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора

координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора

координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора

координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора

3) Площадь треугольника Площадь треугольника можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае, В нашем случае

В нашем случае=В нашем случае=

=В нашем случае

Имеем, Имеем

Итак, площадь грани площадь грани

4) Уравнение прямой Уравнение прямой найдем как канонические уравнения прямой в пространстве:

канонические уравнения прямой в пространстве,

где координаты направляющего вектора прямой - координаты направляющего вектора прямой, а координаты точки прямой- координаты точки прямой. В нашем случае В нашем случае, а в качестве точки .

Итак, уравнение прямой уравнение прямой имеет вид:

уравнение прямой.

В общем виде:

В общем виде или В общем виде

5) Уравнение плоскости Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и :

уравнение плоскости,

уравнение плоскости,

уравнение плоскости.

Упрощая, получим: Упрощая, получим.

6) Объем пирамиды Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Соответственно.

Найдем смешанное произведение векторов , и:

смешанное произведение векторов

смешанное произведение векторов

Ответы:

  1. длина ребра равна (ед.)
  2. угол между ребрами и равен
  3. площадь грани равна 11.58 (кв. ед.)
  4. уравнение прямой уравнение прямой (в каноническом виде ):в каноническом виде
  5. уравнение плоскости уравнение плоскости(в общем виде): в общем виде
  6. объем пирамиды объем пирамиды равен 11 (куб. ед.).

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.