1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале 

Определение 1. Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2. Функция непрерывна, если.

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

 

Определение 5. Функция непрерывна в точке справа, если .

Определение 6. Функция непрерывна в точке слева, если .

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Разрывы функции.

Разрыв первого рода

Пусть и существуют:

I. Если , то в точке функция испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

  1.   
  2. – целая часть числа x.
  3. – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Разрыв второго рода

Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

 

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на . Или , где .


Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или , где – область значений.


Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой . Или .


Математический анализ


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.