1.1. Комплексные числа (КЧ)
Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где 
, i – мнимая
единица. i 2 = –1.
a – действительная часть КЧ или a = Re z.
b – мнимая часть КЧ или b = Im z.
0+bi = bi - чисто мнимое число
a + 0i = a - действительное число
0 + 1i = i |
1 + 0i = 1 |
0 + 0i = 0 |
мнимая единица |
обычная единица |
обычный нуль |
Z1 = a1 + b1i
Z2 = a2 + b2i
Действия над КЧ
Z1 
Z2 = (a1 a2) + (b1 b2)
i – сложение/вычитание
КЧ.
Возведение в степень мнимой единицы:
i1 = i i2 = – 1 i3 = i i4 = 1
Z1 Z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i
+ a2b1i
+ b1b2i2 =
= (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i – произведение КЧ.
Сопряженным числом (
)
для данного комплексного числа называется число, которое отличается только
знаком мнимой части от данного числа.
Пример: 
– деление КЧ.
Пример:
Комплексная плоскость
Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.
Модуль КЧ
Аргумент КЧ
Аргумент КЧ – 
.
Полярная система координат
Декартова система. Полярная система
– полярный радиус, 
– полярный угол, 
– полярные координаты.
; 
Пример:
– тригонометрическая форма записи КЧ.
Примеры:
Формула Эйлера
|
– Формула Эйлера |
|
|
– взаимосвязь между e,
i и |
– показательная форма КЧ.
КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.
Возведение в степень КЧ
При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула Муавра
Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:
Используя равенство КЧ, получим: 
s
Извлечение корня из КЧ
|
k = 0, 1…,n – 1. |
Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.
Примеры:
Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.