Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

1. Введение в анализ. Теория пределов. Математический анализ

Математический анализ

1. Введение в анализ

1.1. Комплексные числа

1.2. Функция, способы задания, простейшие свойства

1.3. Предел функции, свойства пределов

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале



1.1. Комплексные числа (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i 2 = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i

1 + 0i = 1

0 + 0i = 0

мнимая единица

обычная единица

обычный нуль

Z1 = a1 + b1i

Z2 = a2 + b2i

Действия над КЧ

Z1 Z2 = (a1 a2) + (b1 b2)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i1 = i i2 = – 1 i3 = i i4 = 1

Z1 Z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i2 =

= (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

  – деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ

Аргумент КЧ

Аргумент КЧ – .

Полярная система координат

Декартова система. Полярная система

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера

Формула Эйлера

– Формула Эйлера

– взаимосвязь между e, i и

показательная форма КЧ – показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ

Возведение в степень КЧ

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра

Формула Муавра

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

Извлечение корня из КЧ

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.



1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства

Основные обозначения:

N – натуральные числа,

Q – рациональные(дробные),

Z – целые числа,

R – действительные числа;

Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное множество.

Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

[a, b] – замкнутый интервал,   (a, b) – открытый интервал

Окр [x0] – окрестность точки x0 , любой открытый интервал, содержащий x0.

Окр [x0] = (a, b), где (a, b) содержит x0 – это окрестность.

ax0 = x0b, – окрестность x0

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x0| – расстояние от точки x до точки x0

Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

  1. Элементарные
  2. Неэлементарные (специальные).

Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

  1. Основные элементарные функции

    а) степенные y = xn

    б) показательные y = ax

    в) тригонометрические y = sin x и другие.

  2. Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).

    f

    X          Y         

    f -1 (обратная функция)

    Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим

    Пример:

    y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций

  1. Четность –
  2. Нечетность –
  3. Периодичность –

Рисунок

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности



1.3. Предел функции. Свойства пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

     

– предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) =

y = f(x) = x2

Пример:

y =, когда ,

Неопределенности:

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:

в окрестности точки 0.

– не существует.

Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

– бесконечно малая величина (б.м.в.).

  1. – бесконечно малая величина при
  2. – бесконечно малая величина при s

Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

– бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x2 + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной

Если – бесконечно малая величина при    – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при – бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что . Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

, где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что , то

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").

более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3: при .

Теорема. Если и эквивалентны () , то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

Тогда .



1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

Определение 1. Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2. Функция непрерывна, если.

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

 

Определение 5. Функция непрерывна в точке справа, если .

Определение 6. Функция непрерывна в точке слева, если .

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Разрывы функции.

Разрыв первого рода

Пусть и существуют:

I. Если , то в точке функция испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

  1.   
  2. – целая часть числа x.
  3. – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Разрыв второго рода

Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

 

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на . Или , где .


Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или , где – область значений.


Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой . Или .


Математический анализ





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru