2.6. Монотонность, экстремумы функции

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().

Доказательство:

x

-1

y

min

0

+

 

Экстремумы функции

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.

Если и , то это точка экстремума.

Если - точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

, теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

x

1

3

y

Max

Min

+

0

-

0

+

Математический анализ


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.