Математический анализ

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная функции, её физический и геометрический смысл

2.2. Правила дифференцирования

2.3. Дифференциал

2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

2.5. Формула Тейлора

2.6. Монотонность, экстремумы функции

2.7. Выпуклость и вогнутость функции

2.8. Ассимптоты

2.9. Исследование функции

2.1. Производная функции. Её физический и геометрический смысл

Пусть функция определенна в окрестности точки .

Тогда , где и .

Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции () и приращения аргумента (), когда .

Дифференцируемость

Механический смысл производной

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной

Производная – это тангенс наклона угла касательной к график функции в данной точке к оси .

;  

при

 

Вычисление производной

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

при

при , следует

Обратное неверно.

Пример:

1)

;

;

; ;

Таблица производных

2.2. Правила дифференцирования

1) Производная от суммы равна сумме производных:

Доказательство:

2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

Вывод формул для производных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Теорема о производной сложной функции

Теорема. Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки (, определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

Теорема о производной обратной функции

Теорема. Доказательство:

Пусть дифференцируемая в точке (). - обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда

Производная сложной степенной функции

Прием логарифмического дифференцирования.

Производная неявной функции

– общий вид неявно заданной функции.

Производная параметрически заданной функции

Примеры параметрических функций:

1)   

2)

3)

    – дифференцируемы.

Пример:

Гиперболические функции

(гиперболический синус)	arsh x (ареа синус)
(гиперболический косинус)	arсh x (ареа косинус)
(гиперболический тангенс)	arth x (ареа тангенс)
(гиперболический котангенс)	arcth x (ареа котангенс)

Схематичные графики гиперболических функций:

Производные высших порядков

Механический смысл второй производной – это ускорение.

Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

2.3. Дифференциал

– гладкая, непрерывная и дифференцируемая.

Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.

если

Свойства дифференциала:

1)

2)

3)

4)

Доказательство для :

Остальные доказываются аналогично.

Инвариантность формы дифференцирования

Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.

2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля, теорема о корнях производных

Доказательство:

Пусть гладкая на , .

Тогда :

Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.

при

при

 

Теорема Коши о среднем

Доказательство:

Пусть - гладкие на .

на

Тогда : , где .

F – гладкая на отрезке . По теореме Ролля : .

по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.

 

Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях

Доказательство:

Пусть гладкая на,

Тогда : .

Пусть :

Геометрический смысл

Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.

Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя)

Пусть и гладкие в окрестности и

Тогда

Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Доказательство:

Применим теорему для и , , где а - точка в окрестности .

где .

Примеры:

1)

2)

3)

2.5. Формула Тейлора

Пусть определена и непрерывна и имеет все производные до n-ого порядка включительно, в некоторой точке .

- остаточный член в форме Тейлора.

- полином Тейлора для .

1)

2)

3) , где k=0,1,2,…n.

Запись остаточного члена

– остаточный член в форме Логранжа.

– остаточный член в форме Коши.

– остаточный член в форме Пиано.

Ряд Тейлора

Формула Маклорена

Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен.

1)

  

2)

3)

4)

5)
 

2.6. Монотонность, экстремумы функции

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().

Доказательство:

x		-1
y		min
	–	0	+

 

Экстремумы функции

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.

Если и , то это точка экстремума.

Если - точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

, теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

x		1		3
y		Max		Min
	+	0	-	0	+

2.7. Выпуклость и вогнутость функции

Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.

Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.

Теорема. В точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.

Доказательство:

Если прямая проходит через точку

Применим теорему Логранжа:

Поставим “-“ в , учитывая, что , тогда должна быть <0.

Второй раз применим теорему Логранжа:

Для вогнутости поставим “+”

должно быть >

Точка, в которой вторая производная равна нулю, называется точкой перегиба.

y		п		п
	+	0	-	0	+

 

2.8. Ассимптоты

Асимптотой к кривой называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается.

Асимптоты:

• Вертикальные
• Наклонные
• Горизонтальные - (частный случай наклонной асимптоты)

I. Вертикальные асимптоты всегда имеют уравнение , где – точка разрыва второго рода.

Значит

II. Наклонная асимптота имеет вид .

Пример:

– вертикальная асимптота, т.к.

Наклонная асимптота

Возможный вариант графика функции.

2.9. Исследование функции

План общего исследования функции.

1. Область определения, четность, периодичность.
2. С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.
3. С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.
4. С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
5. График функции.

Примеры исследования функции

I.

1) Функция нечетная.

2) вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота

3)

4)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

3) – функция нечетная.

- при

- при

4) наклонных асимптот нет.

- горизонтальная асимптота.

- точка перегиба.

5)

- вертикальная асимптота.

6)

-точка перегиба.

7)

8)

9) Декартов лист.

Полярные координаты

– декартовы координаты.

- полярные координаты.

Математический анализ