1.10. Теорема Гаусса

Вектор Е (вектор напряженности электрического поля), проходящий через поверхность, можно рассматривать как любой другой вектор в пространстве, поэтому к нему применима вышеизложенная теорема. Тогда для расчета количества векторов Е можно записать:

Если источник поля - положительный заряд, то напряженность электрического поля от него:

.

Если замкнутая поверхность сфера, то напряженность на ее точках есть величина постоянная. Тогда поток вектора Е через замкнутую поверхность от точечного заряда запишется как:

Это есть теорема Гаусса, говорящая, что поток вектора Е через замкнутую поверхность численно равен величине заряда, формирующего электрическое поле, деленного на электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость.

1.10.1. Теорема Гаусса для системы точечных зарядов

Полный поток, через замкнутую поверхность:


Поток вектора Е системы зарядов численно равен сумме зарядов, входящих в систему, деленных на eeo.

1.10.2. Применение теоремы Гаусса к расчетам электростатических полей

Пусть в качестве заряда есть бесконечная заряженная нить.

Если r<<, то считаем нить бесконечной. Заряд нити бесконечен, qнити® ¥, (® ¥ ).

Ограничим замкнутую поверхность вокруг dl цилиндром с основанием r. Через основание цилиндра количество векторов Е=0, т.к. должен быть перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям. Тогда все Е пройдут через боковую поверхность. Вводим характеристику заряда для нити как характеристику заряда на единицу длины, т.е. удельное количество заряда. Эта величина есть линейная плотность заряда t . Значит ; а .

Подставив все выражения, получим:

Это выражение определяет напряженность поля бесконечной заряженной нити в любой точке пространства.

Расчет напряженностей для заряженной сферы (поле заряженной сферы).

Пусть имеется:

а) Полая сфера или шар из проводящего материала. В обоих случаях заряд распределяется по поверхности по закону Кулона. Тогда по теореме О.-Г.

.

Приравняем интегралы

Аналогичным способом рассуждая, полный поток вектора через сферу любого радиуса r определится как:

Окончательно получаем напряженность в любой точке пространства, расположенной вдали от заряженной полой сферы:

б) Если

Каждый отдельно взятый заряд на поверхности сферы дает силовую линию, которая пересекает сферу радиуса r дважды (со знаком “+” и со знаком “-”, т.е. входящий и выходящий), таким образом результирующее количество векторов Е, пересекающих эту сферу, равно нулю. То есть электрическое поле внутри полой сферы отсутствует.

в) Поле сферы с зарядом, равномерно распределенным по объему.

По закону Кулона (взаимное отталкивание зарядов) в однородном проводящем теле заряды распределяются по поверхности. Поэтому возьмем искусственный случай смеси проводящих элементов в непроводящей массе.

Рассмотрим случай (r > R): Аналогично рассуждая, поток вектора Е через сферу радиуса r определится как:

;
И вновь получим:

- напряженность вдали от сплошной заряженной сферы.

Рассмотрим случай (r < R):

По теореме Гаусса поток вектора Е состоит из двух потоков , где - поток векторов, обусловленный внешним кольцом зарядов относительно сферы радиуса , по определению он º 0 (см. пр. тему).

- поток векторов Е внутренних зарядов относительно сферы радиуса r:

,
где - заряд внутри сферы r.

Вводится понятие объемной плотности заряда r , т.е. количество заряда в единице объёма, тогда количество заряда внутри сферы r определится как:

,
где r - объемная плотность заряда.

По определению:


а также

Окончательно получаем, что величина напряженности в любой точке пространства внутри однородно заряженной сферы:

.

Поле бесконечной заряженной плоскости.

Определим напряженность в точке А, находящейся на расстоянии r, много меньшем чем любой геометрический размер плоскости (r < <). Чтобы использовать теорему Гаусса, окружаем плоскость поверхностью, которая представляется двумя плоскостями, параллельными заряженной плоскости, на расстоянии r от неё.

Каждый элементарный заряд на заряженной плоскости дает две силовые линии, пересекающие замыкающие поверхности. Используя положения о перпендикулярности силовых линий к поверхности заряженных тел, получим систему параллельных силовых линий, расположенных по обе стороны от заряженной плоскости.

Поле, характеризующееся параллельными силовыми линиями, называется однородным (так же силовые линии должны быть равными между собой). Тогда по теореме Гаусса поток вектора Е через замкнутую поверхность равен:

.

Введем понятие поверхностной плотности заряда:

, где S – площадь заряженной плоскости.

Тогда количество заряда:

.

Окончательно имеем напряженность вблизи бесконечно заряженной плотности (величина напряженности вблизи бесконечно заряженной плотности не зависит от расстояния):

.

Поле двух бесконечно заряженных плоскостей.

Пусть имеем

1) разноименно заряженные бесконечные плоскости (понятие бесконечности см. предыдущий раздел).

По принципу суперпозиции определим напряженность от каждой плоскости и сложим:

,
a

Поле между плоскостями:

.

Аналогично рассмотрим ситуацию вне плоскостей. По принципу суперпозиции:

- поле снаружи.

Поле для разноименно заряженных пластин между ними присутствует и однородно. Поле вне пластин отсутствует. Такое образование (конструкция) используется в электротехники, как накопитель электрической энергии, называемый конденсатором или электроемкостью.

2) Одинаково заряженные бесконечные пластины:

Если пластины заряжены одним знаком заряда, аналогично рассуждая, получим, что поле между пластинами отсутствует, а вне пластин неоднородно, т.к. распределено во всем окружающем пространстве. Практического применения не имеет.

Механика, Электричество и магнетизм, Колебания, Волны, Оптика, Квантовая механика, Твердое тело


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.