Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->
Обязательно посмотрите энциклопедию:

Радиоэлектроника, Схемы радиолюбителям


1.9. Теорема Остроградского–Гаусса. Электричество и магнетизм

Электричество и магнетизм

1.9. Теорема Остроградского–Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса касается расчета векторных полей, пересекающих различные поверхности. Лучше эту проблему решить через пример истечения жидкости через поперечное сечение трубы. Чтобы определить количество истекшей жидкости, разбиваем пространство поперечного сечения на маленькие участки S, на которых:


,
а объём истекшей жидкости
.
Из механики

,
где - вектор ориентации поверхности, или нормаль к поверхности.

- эта формула определяет количество жидкости, протекающей со скоростью u за время t через ограниченную поверхность S произвольно ориентированную в пространстве. Тогда вводится понятие потока вектора скоростей через ограниченную поверхность.

Поток вектора скоростей - количество или объем истекающей жидкости в единицу времени (можно назвать это мощностью):

В качестве площади, через которую истекает жидкость, берут её составляющую, перпендикулярную потоку жидкости, т.е.
,
тогда
.
Чтобы определить количество жидкости через всю поверхность S, интегрируем по всей площади, пересекающей поток, тогда полный поток:

Это выражение для потока скоростей жидкости. На этом примере можно анализировать потоки любых векторов, проходящих через поверхность. Поведение любых векторов в пространстве аналогично поведению вектора , т.е. скорости истекающей жидкости.

Приложения к теореме Остроградского-Гаусса:

Если потоком векторов считать просто количество векторов, проходящих через площадку, пусть есть источник векторов ; , то из рисунка видно, что количество векторов, проходящих через эти равные площадки различно.

1) Поток векторов , проходящий через одинаковую площадку , находящуюся на разных расстояниях от источника, не одинаков и зависит от расстояния, т.е. .

Для определения полного потока (общего количества ), замыкаем поверхность вокруг источника (это сфера). Очевидно, что количество векторов , проходящих через любую замкнутую поверхность есть величина одинаковая.

2) Полный поток через замкнутую поверхность есть величина постоянная, т.е.

.

Механика, Электричество и магнетизм, Колебания, Волны, Оптика, Квантовая механика, Твердое тело






© 2009-2018 Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки. Карта сайта

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru