6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа

6.1. Переходный режим электрических цепей. Законы коммутации

В предыдущих главах рассматривались процессы в электрических цепях и методы их расчета в установившемся режиме, т. е. в режиме, при котором напряжения и токи в цепях либо не зависят от времени, либо являются периодическими функциями времени в зависимости от вида приложенного воздействия. Установившийся режим в цепи достигается обычно через определенный промежуток времени после начала воздействия, поэтому рассмотренные ранее методы анализа не охватывают так называемый переходный режим от начала воздействия до установившегося состояния цепи. Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных элементов (индуктивности, емкости), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключении источников электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей (принцип непрерывности), что и приводит к возникновению переходных процессов. Следует подчеркнуть, что переходные процессы во многих устройствах и системах связи являются составной "нормальной" частью режима их работы. В то же время в ряде случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в электрических цепях.

В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных процессов. Коммутацию будем считать мгновенной, однако переходный процесс, как было отмечено выше, будет протекать определенное время. Теоретически для завершения переходного процесса требуется бесконечно большое время, но на практике его принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Будем считать, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа К (рис. 6.1), сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или размыкания ключа будем показывать стрелкой. Будем также считать, если не оговорено иное, что коммутация осуществляется в момент t = 0.

Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации ток в индуктивности имеет то же значение, что и в момент t = 0 до коммутации и с этого момента плавно изменяется (здесь и далее под f(0- ) понимается левосторонний предел функции f(t) при t 0- , а под f(0+ ) - правосторонний предел f(t) при t0+ )
   (6.1)

Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости WC = Cu2/2: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на емкости имеет то же значение, что и в момент t = 0 до коммутации и с этого момента плавно изменяется:
   (6.2)

В отличие от тока в индуктивности iL и напряжения на емкости uC напряжение на индуктивности uL и ток в емкости iC могут изменяться скачком, так как согласно (1.9) и (1.12) они являются производными от iL и uC и с ними непосредственно не связана энергия магнитного и электрического полей. Значения токов в индуктивности iL(0+) и напряжений на емкостях uC(0+) образуют начальные условия задачи. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно после коммутации (при t = 0+) iL(0+) = 0; uC(0+) = 0 (т. е. WL(0+) + WC(0+) = 0) и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда iL(0+) 0 и (или) uC(0+) 0 (т. е. WL(0+) + WC(0+) 0). Нулевые и ненулевые значения начальных условий для iL и uC называются независимыми, а начальные условия остальных токов и напряжений зависимыми. Независимые начальные условия определяются с помощью законов коммутации (6.1) и (6.2).

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить iL или uC. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной iL или uC. Порядок дифференциального уравнения определяется числом независимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.

Обозначим независимую переменную (iL или uC) через x = x(t).

Дифференциальное уравнение m-гo порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника w(t), описывается уравнением:
   (6.3)
где b0, b1, ..., bm–1, bm коэффициенты параметров цепи; w(t) — функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Цепь, параметры которой b0, b1, ..., bm–1, bm неизменны, называют цепью с постоянными параметрами. Если же какой-либо из коэффициентов b0, b1, ..., bm–1, bm переменен, то цепь называют параметрической. В дальнейшем будем рассматривать цепи с постоянными параметрами.

Дифференциальное уравнение (6.3) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно, его решение находится как сумма общего решения xсв однородного дифференциального уравнения m-го порядка:
   (6.4)
и частного решения xпр уравнения (6.3):
   (6.4)
где xсв и xпр — общее и частное решения. Общее решение xсв определяет свободные процессы, которые протекают в цепи без участия источника w(t) (отсюда индекс "св"). Частное решение xпр определяет принудительный процесс (отсюда индекс "пр"), который протекает в цепи под влиянием w(t). В теории цепей xпр обычно находят одним из ранее рассмотренных методов расчета цепей в установившемся режиме.

Свободная составляющая переходного процесса xсв будет зависеть от характера корней характеристического уравнения:
   (6.6)

В случае, когда корни p1, p2, ..., рm характеристического уравнения (6.6) вещественные и различные, решение (6.4) имеет вид
   (6.7)
где A1, A2, ..., Am постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

В случае, когда корни уравнения (6.6) вещественные и равные, т. е. p1 = p2 = ... = рm = p, свободная составляющая определяется уравнением
   (6.8)

Представляет практический интерес и случай, когда корни попарно комплексно-сопряженные рk,k–1= —a ± jс. При этом в формуле (6.7) соответствующая пара корней рk,k–1заменяется слагаемыми вида
   (6.9)
где A, постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий.

6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка

Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка
   (6.10)

Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.

Переходные процессы в RL-цепях. Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).

Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК:
   (6.11)

Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме
   (6.12)
где iсв — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); inp — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).

Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения
   (6.13)
и согласно (6.7)
   (6.14)
где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6);
   (6.15)

Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи = L/R.

Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:

В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):

Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением
   (6.16)

Напряжение на индуктивности согласно (1.9)
   (6.17)

На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и uL(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3...5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Для второго случая принужденная составляющая тока где , = arctg(L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения

Откуда . Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет
   (6.18)

На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности
   (6.19)
где UmL = LIm.

Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда u = ± /2 в последней могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 2Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).

В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li2(0)/2, где i(0) = U/(R0 + R). После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением:
   (6.20)
т. е. iпp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):

Постоянную А находим из начального условия i(0) и закона коммутации (6.1):

Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением
   (6.21)

Напряжение uL определяется как
   (6.22)

На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока.

Переходные процессы в -цепях. При расчете переходных процессов в -цепях в качестве независимой переменной выбирают uC. Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной -цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC(0) и определяет закон изменения напряжения на емкости.

Рассмотрим вначале RC-цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.6), которая подключается в момент t = 0 к источнику постоянного и(t) = U или синусоидального и(t) = Umsin(t + u ) напряжения. Переходный процесс в данной цепи описывается дифференциальным уравнением
   (6.23)
решение которого ищем также в форме суммы общего и частного решений, определяющих свободную и принужденную составляющие:
   (6.24)

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения
   (6.25)
   (6.26)
где р определяется из характеристического уравнения

Величина RC носит название постоянной времени RC-цепи и обозначается через .

Определим принужденную составляющую uC пp для случая, когда u(t) = U = const. Из рис. 6.6 следует, что в установившемся режиме uC пp = U. Следовательно, с учетом (6.24) и (6.26) уравнение для иC примет вид иC = Aet / + U. Для нахождения постоянной интегрирования А учтем нулевые начальные условия для uC(0) и второй закон коммутации (6.2): uC(0) = uC(0+) = 0 = A + U, откуда А = —U. Таким образом, получаем окончательно:
   (6.27)

Ток в цепи определяется согласно (1.12):
   (6.28)

На рис. 6.7 изображены графические зависимости uС(t) и i(t).

Анализ полученных результатов показывает, что в момент t = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как короткозамкнутый участок. Напротив, при t = емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи для постоянного тока).

Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно видеть что при этом
   (6.29)
где
   (6.30)
а напряжение

Постоянная А находится из начальных условий для uC(0+) при t = 0+:

Окончательно закон изменения напряжения
   (6.31)

На рис. 6.8 изображен график зависимости uC(t). Анализ уравнения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при u = и большой в цепи могут возникать перенапряжения, достигающие на емкости величины uCmax 2UmC. В случае удачного включения, когда u = /2 – , в цепи сразу наступает установившийся режим.

Ток в цепи
   (6.32)

Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда емкость С, заряженная до напряжения U, разряжается на сопротивление R (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации возникает переходный процесс, определяемый уравнением
   (6.33)
т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости):
   (6.34)

Постоянную интегрирования А находим из начального условия для uC(0+) = U и закона коммутации (6.2):

Таким образом, получаем закон изменения напряжения на емкости
   (6.35)
и тока в цепи
   (6.36)

Знак "–" в уравнении (6.36) для тока свидетельствует о том, что ток разряда направлен противоположно опорному направлению напряжения иС в емкости. На рис. 6.10 приведены графики изменения напряжения иС(t) и тока i(t) данной -цепи. Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия WC емкости с течением времени преобразуется в элементе R в тепло. При ненулевых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.

6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка

Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и -цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.11).

Для этого контура можно по аналогии с RL- и -цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости

Учитывая, что i = CduC/dt окончательно получаем
   (6.37)

Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно (6.5) в форме суммы свободной uCсв и принужденной uCпр составляющих:
   (6.38)

Вид uCпр зависит от характера приложенного напряжения, а uCсв определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка:
   (6.39)

Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения
   (6.40)

Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:
   (6.41)

Величина a = R/2L носит название коэффициента затухания контура, а есть резонансная частота контура (см. § 4.2). Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде
   (6.42)

Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р1, р2, которые могут быть:
1) вещественными и различными (при R > 2);
2) комплексно-сопряженными (при R < 2);
3) вещественными и равными (при R = 2).

Здесь = — характеристическое сопротивление контура (см. формулу (4.22)).

Разряд емкости на RL-цепь. Для исследования характера переходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 6.11). Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия:

После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1)—3).

В первом случае, когда R > 2, корни p1 и р2 в (6.41) будут вещественными и различными, и решение уравнения определится согласно (6.7):
   (6.43)
где A1 и A2 — постоянные интегрирования. Для определения A1 и A2 запишем еще уравнение для тока в цепи:
   (6.44)

Постоянные A1 и A2 можно найти из начальных условий для uC(0) = U и i(0) = 0 (при t = 0) и законов коммутации (6.1), (6.2):
   (6.45)

Из решения системы уравнение (6.45)

В результате получаем уравнения для напряжения UC и тока i:
   (6.46)
   (6.47)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением
   (6.48)

Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин uC, i, uL состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p1 < 0 и p2 < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.46)—(6.48). Момент времени t1, соответствующий точке перегиба uC, максимуму | i | и нулевому значению uL определяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t2 из решения уравнения duL / dt = 0:
   (6.49)

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкости С, причем в интервале от 0 до t1 энергия WC расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( pC = uC i < 0; pL = uL i > 0). В дальнейшем (при t > t1) как энергия электрического поля емкости WC, так и запасенная к моменту t = t1 магнитная энергия индуктивности WL расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.

Во втором случае при R < 2, когда корни p1 и p2 носят комплексно-сопряженный характер,
   (6.50)
где называют частотой собственных затухающих колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)
   (6.51)
где A и — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в цепи
   (6.52)

Постоянные A и определяются из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):
   (6.53)

Отсюда

Окончательно уравнения для uC, i и и принимают вид
   (6.54)
   (6.55)

   (6.56)

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой с, зависящей только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Тc = 2/с носит название квазипериода. На рис. 6.13 изображены графики зависимостей uC(t) и i(t) определяемых уравнениями (6.54) и (6.55). Скорость затухания периодического процесса принято характеризовать декрементом затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака (см. рис. 6.13):
   (6.57)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания
   (6.58)

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2 колебания прекращаются и переходной процесс становится апериодическим. При R = 0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой с = 0 = . Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости (свободных колебаний в RLC-контуре) имеет место попеременное запасание энергии WC в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности WL: в начале энергия WC расходуется на создание магнитного поля WL индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия WL, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной энергии Wc(0) в тепловые потери в резисторе R.

Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)
   (6.59)

Ток определяется уравнением
   (6.60)
где p1 = p2 = p = -a — корни характеристического уравнения (6.40); А1, А2 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):

Отсюда А2 = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид
   (6.61)
   (6.62)
   (6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2. Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uC(0) = 0, i(0) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).

Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uCпр = U. Свободная составляющая uCсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р1 и р2. Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся при этом из начальных условий i(0) = 0, uC(0) = 0 и законов коммутации для i и uC. Определим, например, закон изменения uC, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом uC св определяются уравнением (6.43), а напряжение uC и ток i имеют следующий вид:
   (6.64)

Для нахождения коэффициентов А1 и А2 используем начальные условия uC(0 ) = 0 и i(0 ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1),(6.2):
   (6.65)

Тогда
   (6.66)

Окончательные уравнения для иС, i, иL имеют вид
   (6.67)
   (6.68)
   (6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t1 и t2 определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение иL отличаются только знаком, а напряжение иС — наличием постоянной составляющей U.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2:
   (6.70)
   (6.71)
   (6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для uC, i и uL для случая критического заряда емкости С при R = 2.

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение. При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = Umsin(t + u ) принужденная составляющая напряжения на емкости
   (6.73)
где C = u + /2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением
   (6.74)
а амплитуда принужденного напряжения на емкости
   (6.75)

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R 2, то свободная составляющая uCсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид
   (6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура , получим уравнение тока
   (6.77)

Постоянные интегрирования A и находим из начальных условий и законов коммутации:
   (6.78)

Откуда
   (6.79)
   (6.80)

Подставив значения А и из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре:
   (6.81)
   (6.82)

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжения существенно превышает резонансную частоту контура 0 при C 0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случае и C /2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения = 0, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями:
   (6.83)
   (6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряжения и резонансная частота контура 0 близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда
   (6.85)
где U(t) = 2Uсost — амплитуда биений с угловой частотой = (0 )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

6.6. Переходные процессы в разветвленных цепях

При расчете переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по ЗТК и ЗНК. Затем полученная система сводится к дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной (иС или iL). После этого полученное уравнение решается по аналогии с уравнениями, рассмотренными в 6.2. Классический метод расчета переходных процессов, 6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка, 6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка, 6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение.

В качестве примера рассмотрим разветвленную цепь второго порядка, изображенную на рис. 6.17. Для данной цепи имеем ненулевые начальные условия: uC(0 ) = U; iL(0 ) = 0. Составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа:
   (6.86)

Выберем в качестве независимой переменной i2 = iL и, решая (6.86) относительно i2, получаем:
   (6.87)
т. е. выражение (6.87) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, аналогичное (6.37). Его решение, как обычно, находим в виде
   (6.88)
где i2np = U/(R1 + R2), а i2св определим из решения однородного дифференциального уравнения
   (6.89)

Решение последнего имеет вид, аналогичный (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения
   (6.90)

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий и законов коммутации, причем для нахождения иС используется система уравнений (6.86). Например, для случая вещественных и различных корней при R1 = R2 = R получим

где A1 и А2 определяются из начальных условий и законов коммутации:

откуда

На рис. 6.18 изображены графики uC(t) и i2(t).

Как следует из вышеуказанного, для определения характера переходного процесса и записи уравнения свободной составляющей независимой переменной необходимо располагать характеристическим уравнением цепи. Это уравнение может быть получено из соответствующего дифференциального уравнения цепи или из анализа ее операторного сопротивления (см. 7.3. Расчет переходных процессов операторным методом). Последнее может быть получено, если в уравнении для комплексного сопротивления цепи Z = Z(j) заменить оператор j на р и приравнять его к нулю:
   (6.91)

Например для цепи, изображенной на рис. 6.17, имеем:

Отсюда

или после преобразований

что полностью совпадает с (6.90).

Таким образом, отпадает необходимость преобразовывать систему уравнений к одному уравнению для выбранной независимой переменной.

В заключение следует отметить, что применение классического метода расчета к цепям более высокого порядка встречает определенные трудности. Главное из них резко возрастающий объем необходимых вычислений, связанных с решением задач уравнений высокого порядка. В этой связи в последнее время все большее применение находят другие методы расчета переходных процессов: метод переменных состояний, операторный и частотные методы, которые будут рассмотрены ниже.

6.7. Метод переменных состояния

В настоящее время для анализа переходных процессов в цепях широкое применение находит метод переменных состояния, позволяющий при расчетах эффективно использовать ЭВМ. Суть метода заключается в том, что переходный процесс в цепи рассматривается как траектория в m-мерном пространстве (где т — порядок цепи) с начальной точкой при t = 0 (начальное состояние) и конечной при t = . Например, переходный процесс в последовательном RLC-контуре (см. 6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка, апериодический разряд и рис. 6.12) можно в пространстве состояний представить кривой, изображенной на рис. 6.19, где iL(0) = 0 и uC(0) = U характеризуют начальное состояние цепи, а iL(t) и uC(t) определяют состояние цепи в любой заданный момент времени. Достоинства этого метода — наглядность, простота, удобство программирования на ЭВМ, возможность анализа как линейных, так и нелинейных цепей, а также цепей с переменными параметрами.

Поясним сущность данного метода на примере цепи, находящейся при ненулевых начальных условиях: iL(0) = i0, uC(0) = u0 (рис. 6.20). Для этой цепи при t 0 можно записать:

или
   (6.92)

Уравнения (6.92) называются уравнениями состояния цепи, а iL и uC — переменными состояния. Начальные условия iL(0) = i0 и uC(0) = u0 определяют с помощью (6.92) состояния цепи в любой момент t 0. Величины iL и uC можно считать компонентами вектора состояния х:

Тогда (6.92) можно переписать в матричной форме:
   (6.93)
где

В случае, если цепь находится после коммутации под воздействием источников, уравнение состояния принимает вид
   (6.94)
где w(t) — вектор воздействий источников; В — матрица параметров цепи.

Например, для случая включения RLC-контура на постоянное напряжение уравнение состояния имеет вид (6.94), где

Зная состояние цепи х(t), реакцию цепи y(t) (токи и напряжения в любой ветви) можно найти как линейную комбинацию векторов состояния х(t) и входных воздействий w(t):
   (6.95)
где у(t) — вектор искомых реакций цепи; С, D — матрицы, зависящие только от параметров цепи. Уравнение (6.95) называют уравнением реакции цепи.

Так, если в качестве компонентов вектора у(t) в предыдущем примере RLC-контура взять uR и uL, то искомые реакции цепи (uR и uL) определяются согласно системе уравнений:

которую можно переписать в форме (6.95), где

Следует подчеркнуть, что уравнения (6.93)—(6.95) справедливы для линейных цепей с постоянными параметрами (матрицы А, В, С, D не зависят от t). Для цепей с переменными параметрами (параметрические цепи) матрицы А(t), B(t), C(t), D(t) являются функциями времени.

Уравнения (6.94), (6.95) — основные в методе переменных состояний. Для решения уравнений состояния могут использоваться как аналитические, так и численные методы. Аналитически уравнение (6.94) может быть решено в области как действительного переменного t, так и комплексного переменного р (см. 7.3. Расчет переходных процессов операторным методом). Рассмотрим некоторые основные методы решения уравнения состояния.

Метод матричных экспонент. Решение этим методом ищут в форме
   (6.96)
где е At — матричная экспонента (матрица перехода). Из (6.96) следует, что решение уравнения состояния содержит два слагаемых: первое — реакция цепи при нулевом входном сигнале; второе — реакция цепи при нулевом начальном состоянии.

Для вычисления е At обычно используют разложение
   (6.97)

Пример. Найдем матрицу перехода для схемы, изображенной на рис. 6.21.

Матрицы А и В для данной схемы имеют следующий вид:

Примем L = 0,55 Гн, С = 0,5 Ф, R1 = 1 Ом, R2 = 3,5 Ом, е(t) = 1 В, iL = 0, uC = 1 В. Тогда

Согласно (6.97) матрица перехода примет вид

Таким образом, матрица перехода представляет собой квадратную матрицу порядка п с элементами в форме рядов от t. Подставив значение е At в уравнение (6.96), можно определить после интегрирования искомое решение x(t).

Следует, однако, отметить, что ряд (6.97) сходится медленно и использование уравнения (6.96) требует большого объема вычислений, поэтому вместо (6.96) обычно используют итерационную процедуру для дискретных моментов времени tn = nt = nh, где h = t достаточно малый шаг:
   (6.98)

Интеграл в (6.98) вычисляется численными методами (методом прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.). Так, при использовании метода прямоугольников алгоритм (6.98) приобретает вид
   (6.99)

При нулевом входном сигнале w = 0 (свободные колебания)
   (6.100)

Если ограничиться в разложении (6.97) только первыми двумя членами e Ah I + Ah, то получим
   (6.101)

Алгоритм (6.101) легко программируется на ЭВМ и имеет ясный физический смысл. Он определяет положение точки в пространстве состояний на (n + 1)-м шаге, исходя из ее состояния на n-м шаге при аппроксимации траектории на участке h прямолинейным отрезком с постоянной скоростью (h).

Пример. Рассчитать траекторию состояний, изображенную на рис. 6.19, используя аппроксимацию ее на каждом из m участков величины h в форме прямолинейных отрезков. Скорость изменения состояния (h) на каждом из выделенных участков остается постоянной.

На основании уравнения состояния (6.93) имеем:
для момента t = 0; (0) = Ах(0);
для момента t = h

для момента t = 2h

для момента t = (n + 1)h

т. е. полученное уравнение полностью совпадает с (6.101).

Метод Рунге—Кутта — метод численного решения уравнения состояния (6.94), при котором интервал 0...t разбивается на " т " малых участков t = h, на каждом из которых значение переменной х определяется с помощью линейной комбинации некоторых вспомогательных функций ki (h) с постоянными коэффициентами. В зависимости от способа выбора коэффициентов и требуемой точности решения существуют различные модификации алгоритмов Рунге — Кутта.

Проиллюстрируем суть метода Рунге—Кутта на примере скалярного уравнения состояния
   (6.102)

Наиболее распространенный алгоритм Рунге—Кутта имеет вид
   (6.103)

При этом порядок погрешности составляет h 5.

Пример. Решить скалярное уравнение состояния (6.102) на интервале [0; t ] методом Рунге—Кутта при условии A = 1; х(0) = 1.

Разобьем интервал [0; t ] на 10 участков с шагом h = 0,1. Тогда в соответствии с алгоритмами (6.103) можем получить для t = 0, х(0) = 1 (первый шаг):

Аналогично на втором шаге

Как следует из (6.103), для определения х необходимо вычислить f (t, x) в четырех точках.

Аналогично записывается алгоритм Рунге—Кутта для системы уравнений типа (6.102). Например, для случая системы из двух уравнений

алгоритм (6.103) примет вид
   (6.104)
где

Частным случаем метода Рунге—Кутта является прямой алгоритм Эйлера (при k2 = k3 = k4 = 0). Однако он имеет малую точность и не нашел широкого применения.

Разностные методы. Существенным недостатком метода Рунге—Кутта является то, что для получения каждого значения решения х необходимо вычислять правую часть уравнения (6.94) в нескольких точках (для алгоритма (6.103) — в четырех точках). Это приводит к большому объему вычислений, особенно для сложной правой части. Применение разностных методов позволяет существенно сократить объем вычислений и затраты машинного времени, так как на каждом шаге правая часть вычисляется только один раз.

В основе разностных методов лежит использование различных интерполяционных алгебраических многочленов (многочлены Ньютона, Стирлинга, Эрмита и др.). При этом решение x на (n + 1) шаге определяется алгоритмом
   (6.105)
где h — шаг; i — постоянные коэффициенты; fk значение алгебраического многочлена в точке k. Как следует из (6.105) для определения решения хk+j; необходимо знать значения х1, х2, ..., хони находятся обычно либо аналитически, либо методом Рунге—Кутта.

Вопросы и задания для самопроверки

  1. Каковы причины возникновения переходных процессов?
  2. Сформулировать законы коммутации.
  3. Дать понятия переходного, установившегося и свободного режимов в электрических цепях.
  4. Что такое нулевые и ненулевые начальные условия?
  5. Какой вид имеет свободная составляющая переходных колебаний в цепях первого порядка?
  6. Что представляет собой принужденная составляющая?
  7. Как рассчитываются постоянные интегрирования в цепях первого порядка?
  8. Что такое постоянная времени цепи?
  9. Для схемы, изображенной на рис. 6.22, определить ток i(t) и напряжение на катушке индуктивности uL(t), если U = 90 В; L = 0,25 Гн; R1 = 20 Ом; R2 = R3 = 5 Ом.

    Ответ: i(t) = 3,6 – 1,6е–100t, А; uL(t) = 40еj100t, В.

  10. Для схемы, изображенной на рис. 6.23, найти uС(t), если U = 60 В; R1 = R2 = R3 = 5 кОм; С = 2,5 мкФ.

    Ответ: uС(t) = 60 – 30е–40t, В.

  11. Как зависит характер свободных колебаний в RLC-контуре от расположения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения?
  12. Как определяются частота и период свободных колебаний?
  13. Что такое логарифмический декремент затухания?
  14. Какова последовательность анализа переходных процессов в разветвленных цепях второго порядка?
  15. Для схемы, приведенной на рис. 6.24, найти iL(t) и uС(t), если U = 100 В; L = 50 мГн; С = 5 мкФ; R = 25 Ом.

    Ответ: iL(t) = 0,29е–540t – 0,29е–7460t, А;
    uС(t) = 100 + 8е–540t – 108е–7460t, В.

  16. Для схемы, приведенной на рис. 6.25, найти i(t) и uС(t), если U = 60 В; R1 = 250 Ом; R2 = 50 Ом; L = 50 мГн; C = 0,5 мкФ.

    Ответ: i(t) = 0,22е–2500tsin(5800t + 67°), А;
    uС(t) = 60 + 69е–2500tsin(5800t – 46,5°), В.

  17. В чем заключается суть метода переменных состояния? Что понимают под переменными состояния?
  18. Что такое уравнения состояния цепи? Какова его матричная форма записи?
  19. В чем сущность метода матричных экспонент?
  20. Суть метода Рунге-Кутта.
  21. Что лежит в основе методов решения уравнения состояния цепи?

Теория электрических цепей


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.