10. Дифференциальные уравнения

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид ,

где n - порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

- дифференциальное уравнение в дифференциалах.

или

- общий интеграл.

Задача Коши. Начальные условия: и

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

– уравнение, разрешенное относительно производной.

Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).

Пусть непрерывна в открытой области Д и .

Открытая область – это область без своей границы.

– существует и непрерывна в Д, гладкая по .

Пусть

Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.

УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).

- УРП, если .

- разделение переменных

- общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример:

Однородное уравнение 1-ого порядка.

- называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

- однородная функция n-ого измерения если

(0-е измерение)

(2-ого порядка)

(неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

- уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение

Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и - произвольные функции от .

- линейное уравнение без правой части.

Два метода решения линейных уравнений:

  1. Метод Бернулли
  2. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
  1. Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций
  2. Выберем так, чтобы .

  3. Метод Лагранжа:

- уравнение без правой части.

(2)

- удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

(****), и - константы – неоднородное или с правой частью.

(***) - однородное или без правой части.

- общее решение уравнения (****), где - общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и - произвольные постоянные, а и - линейно независимые решения (***).

- какое-либо частное решение уравнение (****).

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

- характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и - действительные различные корни.

Случай 2)

, где - корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как - это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

- линейно независимые, следовательно:

Пример:

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

а)

,где А - неопределенный коэффициент.

Пример:

б)

Общий случай

- характеристическое уравнение.

а) Если не корень характеристического уравнения:

б) Если корень характеристического уравнения кратности

1

2

2

0

1

2

0

-1

1

2

1

-1

1

2

0

i

1

2

1

i

1

2

0

1

1

2

2

1

1

2

0

1+i

0

1

2

0

2

2

0

2

2

2

1

2

i

-i

0

i

2+i

2-i

0

2

2+i

2-i

0

2+i

Теорема. Если , то , где отвечает за

, а отвечает за . - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .

Общая классификация дифференциальных уравнений

Высшая математика


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.