8. Кратные интегралы

8.1. Двойной интеграл

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) – непрерывна на Д, где Д={(x,y)} – замкнутая область.

Разобъём эту область на прямоугольные части, как показано на рисунке.

Вычислим объем параллелепипеда с основанием и высотой :

- элементарный объем параллелепипеда.

Тогда двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д называется предел интегральной суммы (суммарного объёма)

,

если этот предел существует.

Теорема о существовании двойного интеграла

Если функция от x, y непрерывна в замкнутой области Д, то двойной интеграл существует и не зависит от способов разбиения и выбора точки в каждой элементарной области.

Геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндра, ограниченного снизу областью Д на плоскости (x, y), сверху поверхностью z = f(x, y).

Свойства двойного интеграла:

1)

2)

3)

Вычисление двойного интеграла:

Пусть Дправильная область, т.е. любая прямая, параллельная осям координат пересекает область не более, чем в двух точках

Пусть (соответственно рисунку) уравнения верхней и нижней граничных линий есть и .

Тогда двойной интеграл можно представить в виде повторного интеграла

.

Пример:

F(x, y)=x+ y

Для вычисления двойного интеграла формируется повторный интеграл (порядок интегрирования выбирается самостоятельно). Заметим, что пределы внутреннего интеграла могут зависеть только от внешней переменной.

Теорема об оценке двойного интеграла:

Пусть и . Тогда

.

Следствие: площадь области Д равна

Пример:

Пусть область Д ограничена линиями:

Интегрируемая функция . Тогда

.

8.2. Двойной интеграл в полярной системе координат

Формулы перехода от декартовой в полярную систему координат:

.

Тогда . Двойной интеграл принимает вид:

8.3. Тройной интеграл

Пусть функция трёх переменных u=f(x,y,z) непрерывна в V , где V – замкнутая, ограниченная область в пространстве.

Разобъём область V на части плоскостями, параллельными координатным плоскостям. В каждом полученном параллелепипеде выберем точку и вычислим значение функции в этой точке . Составим интегральную сумму , где .

Переходя к пределу (если он существует), получим тройной интеграл:

.

Если функция непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то тройной интеграл существует и не зависит от способа разбиения и выбора точки.

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность

. Здесь .

3. Если

на V

то

Вычисление тройного интеграла:

Пусть V – прямоугольный параллелепипед.

- трехкратный повторный интеграл.

Пример:

Пример:

V – произвольное тело (правильное)

Вычисление тройного интеграла по произвольной области сводится к вычислению трехкратного повторного интеграла, причем внутренний интеграл берется между двумя ограничивающими поверхностями, средний – между двумя ограничивающими линиями, внешний – между двумя числами. Пределы интегрирования повторного интеграла не должны зависеть от внутренних переменных.

Пример:

u=f(x,y,z)

В этом примере удобно перейти в цилиндрическую систему координат.

Высшая математика


*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.