3. Уравнения Максвелла. Дифференциальные уравнения электромагнитного поля

Электромагнитные поля и волны

3. Уравнения Максвелла. Дифференциальные уравнения электромагнитного поля

Интегральные уравнения не позволяют получать информацию об электромагнитных процессах в каждой точке пространства. Они дают усредненные решения полей в пространстве.

Хорошо развитый аппарат математических решений позволят переходить от интегральной формы к дифференциальным решениям.

Впервые переход от интегральных уравнений к дифференциальным сделал Максвелл.

3.1. Первое уравнение Максвелла

Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока:

S - опирается на контур L.

Используем теорему Стокса:

Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подинтегральные функции равны.

-    дифференциальная форма закона Ома.

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.

Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

3.2. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции:

Физический смысл. Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем.

3.3. Третье уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, которая позволяет осуществить переход от

поверхностного интеграла П () к объемному интегралу от (div D):

Запишем правую часть уравнения (3.3.1.) для объемного заряда. Объединим два выражения:

- третье уравнение Максвелла. (3.3.3.)

Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью r .

3.4. Четвертое уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей:

Физический смысл. Дивергенция вектора любой точке пространства равняется нулю, т.е. - источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стоков, ни источников.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме

Используем теорему Остроградского-Гаусса:

- это уравнение является следствием из предыдущих уравнений

3.6. Таблица интегральных и дифференциальных уравнений электромагнитного поля

Материальные уравнения cреды.

=

Все эти уравнения являются обобщением в математической форме опытов всего человечества об электромагнитных явлениях. Они не доказываются и не выводятся - это результат опытов.

=

=

=

Интегральные уравнения электромагнитного поля

Дифференциальные уравнения электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла

1. Закон полного тока:

2. Закон электромагнитной индукции:

3. Теорема Гаусса для электрических полей:

4. Теорема Гаусса для магнитных полей:

5. Закон сохранения заряда




 

 

 


Электромагнитные поля и волны






© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.