При наблюдении за течением случайного процесса мы можем определить лишь текущий спектр данной реализации x(t), т. е.

(2.80)

Эта функция является случайной. Поэтому удобно ввести понятие энергетического спектра, которое приводит к неслучайной функции частоты.

Энергетический спектр стационарного случайного процесса определяется как спектр его функции корреляции.

(2.81)

Обратное преобразование Фурье дает

(2.82)

Так как B(τ) и G(ω) — четные, функции своих аргументов, то ф-лы (2.81) и (2.82) можно записать в другом виде:

(2.83)

(2.84)

Физический смысл функции G(ω) легко выяснить на основании (2.82), если в последнем положить τ=0. При этом мы получаем

(2.85)

где Р — полная мощность процесса.

Формула (2.85) показывает, что функция G(ω) выражает спектральную плотность мощности процесса. Мощность в полосе — можно определить интегрированием G(ω) в пределах от до , т. е.

Энергетический спектр можно выразить и через текущий спектр реализации i(2.80). Согласно равенству Парсеваля энергия процесса x(t), выделяющаяся за время Т, равна:

(2.86)

Средняя мощность процесса определится как предел ЕТ/Т при , т. е.

(2.87)

Сопоставляя (2.85) и (2.87), находим

(2.88)

Это соотношение устанавливает связь между энергетическим спектром процесса и текущим спектром его реализации.

Энергетический спектр характеризует поведение реализаций процесса в среднем. Так, если спектр G(ω) сосредоточен в области низких частот, то процесс этот — медленно изменяющийся по сравнению с тем процессом, у которого спектр сосредоточен в области. более высоких частот. Для узкополосного процесса G(ω) заметно отличается от нуля только в полосе Δω вокруг средней частоты ) причем Δω<<. Такой процесс напоминает синусоиду с медленно меняющимися амплитудой и фазой.

Поскольку энергетический спектр и функция корреляции связаны между собой парой преобразований Фурье, то к ним можно применить известные теоремы спектрального анализа. Некоторые соотношения из этих теорем приведены в табл. 2.1. Здесь предполагается, что х=0, a и — независимы.

Случайный процесс, у которого G(ω)= — постоянная величина, называется белым шумом.

Таблица 2.1

Корреляционная функция белого шума согласно (2.82) равна:

(2.89)

Для случайных процессов имеет место связь общего характера между шириной спектра Δf, и интервалом корреляции Δτ:

(2.90)

где μ — постоянная порядка единицы. Интервал корреляции вычисляется на основании выражения (2.24). Ширина энергетического спектра определяется аналогичным соотношением

(2.91)

Пусть, например, задан процесс, функция корреляции которого определяется выражением . Энергетический спектр такого процесса согласно (2.84)

Далее, , а согласно (2.24). Затем отсюда .