1.1. Множества и отношения. Множества и элементы множеств
1.5. Табличный способ задания множеств
1.1. Множества и отношения
Множества и элементы множеств
Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.
Например:
(
является элементом множества
("
принадлежит A")),
(
не является элементом множества A).
Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.
Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении.
– множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.
Множество элементов , удовлетворяющих свойству P(x) обозначается
.
Примеры.
– множество натуральных чисел;
– множество вещественных чисел.
– множество комплексных чисел.
1.2. Сравнение множеств
Определение. (А содержится в В или В включает А), если
. А называется подмножеством В. Если
и
, то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это
.
Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть
или
Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.
1.3. Операции над множествами
Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.
Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.
Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества В и элементов множества В, не являющихся элементами множества А.
Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.
Пример:
зависит от того, какое U. Если
, то
, если
, то
.
1.4. Диаграммы Эйлера-Венна
Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. Табличный способ задания множеств
Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент
.
Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.
Таким образом: .
Для имеют место свойства:
;
Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 1 |
0 0 0 1 |
0 0 1 0 |
1 1 0 0 |
0 1 1 0 |
1.6. Свойства операций над множествами
Объединение и пересечение:
1. =
– коммутативность
2. =
– коммутативность
3. – ассоциативность
4. – ассоциативность
5. – дистрибутивность
6. – дистрибутивность
7. – идемпотентность
8. – идемпотентность
9. – свойство дополнения
10. – свойство дополнения
11. – закон де Моргана
12. – закон де Моргана
13. – свойство нуля
14. – свойство нуля
Дополнение:
15. – инволютивность
16.
17.
Разность, симметрическая разность:
18.
19.
20.
21.
22.
23.
1.7. Отношения
Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.
Пример. – точки плоскости.
Свойства декартовых произведений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие отношения.
Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.
Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, "быть четным" на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.
Бинарные отношения
Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества
.
Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств , где
– график отношения. Пишут
или aRb.
Область определения : ;
Область значений: ;
Обратное отношение: ;
Композиция отношений и
:
.
Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
1.8. Специальные бинарные отношения
Бинарное отношение на A называется
- Рефлексивным, если
;
- Симметричным, если
;
- Транзитивным, если
;
- Антисимметричным, если
;
- Отношением эквивалентности на
(пишут
), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;
Определение. Бинарное отношение называется функцией из
в
, если
и
.
Функция называется
- Сюръективной, если
;
- инъективной, если
;
- биективной, если она сюръективна и инъективна.