Преобразование шкалы частот ФНЧ. Для синтеза фильтров верхних частот (полосовых или заграждающих) и, в частности, для нахождения их передаточных функций, можно было бы заново повторить все преобразования, примененные к фильтрам нижних частот. Однако такой подход нерационален. Обычно для расчета ФВЧ, ПФ или ЗФ используют преобразование шкалы частот ФНЧ-прототипа.
Рис. 17.16
На рис. 17.16 приведены характеристики ослабления фильтров: нижних частот (а), верхних частот (б) полосового (в) и заграждающего (г). Для ФНЧ эта характеристика построена как для положительных, так и для отрицательных частот. Шкала частот для каждого фильтра помечена для удобства буквенными обозначениями: "нч", "вч", "пф", "зф".
Из рис. 17.16, а и б видно, что характеристика ослабления ФНЧ в отрицательной области частот повторяет характеристику ФВЧ. Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной: 
(17.31) где 
n – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ.
График зависимости (17.31) представляет собой нижнюю ветвь гиперболы. На рис. 17.17 приведены характеристика ослабления ФНЧ, график преобразующей функции (17.31) и характеристика ослабления ФВЧ. Действительно, такое преобразование частоты приводит к соответствию: частоты н.ч = —
частоте в.ч = 0; частоты н.ч = — п частоте в.ч = п; частоты н.ч = 0 частоте в.ч = .
Рис. 17.17
Чтобы из характеристики ФНЧ получить характеристику ПФ (рис. 17.16, в), необходима замена переменной: 
(17.32) где 
; п1 и п2 – граничные частоты полосы пропускания ПФ; з1 и з2 – граничные частоты полосы нерпопускания ПФ.
График функции (17.32) описывается более сложной кривой, чем у ФВЧ. На рис. 17.18 показано как происходит преобразование шкалы частот ФНЧ в шкалу частот ПФ с помощью преобразования частоты (17.32). Данное преобразование приводит к соответствию частоты н.ч = — частоте п.ф = 0, частоты н.ч = 0 частоте п.ф = 0, частоты н.ч = частоте п.ф = .
Рис. 17.18
Характеристику (рис. 17.16, г) заграждающего фильтра можно получить из характеристики ФНЧ, применяя преобразование частоты: 
(17.33)
Преобразование схем пассивных LC-фильтров. Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ |Hp(j)|2 фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ jн.чLн.ч переходит при преобразовании частот (17.31) в сопротивление: 
, т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где Cв.ч = 1/ п2Lн.ч.
Емкостная проводимость: 
переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью Lв.ч = 1/ п2Cн.ч.
Преобразование частоты (17.32) приводит к замене индуктивного сопротивления ФНЧ: 
сопротивлением последовательного контура в ПФ с элементами Lп.ф1 = Lн.ч и Cп.ф1 = 1/ ( 02Lн.ч).
Емкостная проводимость ФНЧ: 
заменяется в ПФ проводимостью параллельного контура с элементами Cп.ф2 = Cн.ч и Lп.ф2 = 1/ ( 02Cн.ч).
Нетрудно убедиться также, что индуктивный элемент ФНЧ преобразуется в ЗФ в параллельный колебательный контур с резонансной частотой 0, а емкость ФНЧ – в последовательный колебательный контур с той же резонансной частотой.
Пример. Рассчитать полосовой фильтр с характеристиками Баттерворта, удовлетворяющий требованиям: Аpmax = 3 дБ; Аpmin=12,2 дБ; fп1=1241 кГц; fп2 = 1400 кГц; fз1 = 1168,5 кГц; fз2 = 1486 кГц.
Для решения поставленной задачи нужно сначала построить фильтр НЧ-прототипа, а затем с помощью преобразования частоты перейти к ПФ.
Пересчитаем требования ПФ (рис. 17.16, в) в требования к НЧ-прототипу (см. рис. 17.16, а). Воспользуемся формулой (17.32): f0 = 
= 
= 1734,4 кГц; fп = fп2 – f02/fп2 = fп2 – fп1= 159 кГц; fз = fз2 – f02/fз2 = = fз2 – fз1= 318 кГц. В качестве нормирующей частоты выберем fн = fп. Тогда нормированные частоты 
п = 1 и з = fз/fп = 2. Итак, требования к НЧ-прототипу имеют вид: Аpmax = 3 дБ; Аpmin = 12,2 дБ; fп = 159 кГц ( п = 1); fз = 318 кГц (з = 2).
В примере для такого НЧ-фильтра были получены квадрат АЧХ |Hp(j )|2 = 1/(1 + 4), рабочее ослабление Аp = 10lg(1 + 4) и передаточная функция Hp(p) = 1/(p2 + 1,41p + 1).
В другом примере этот фильтр был реализован в виде схемы, изображенной на рис. 17.11 с элементами Lн.ч = 1,41 мГн и Сн.ч = 1,41 нФ.
При переходе к требуемому полосовому фильтру необходимо индуктивность продольного плеча Lн.ч фильтра НЧ-прототипа заменить последовательным контуром с элементами Lп.ф1 = Lн.ч = 1,41 мГн и Сп.ф1 = 
= 6×10–12 Ф = 6,0 пФ.
Вместо емкости Сн.ч в поперечном плече полосового фильтра будет включен параллельный контур с элементами Сп.ф2 = Сн.ч = 1,41 нФ и Lп.ф2 = 
= 6×10–6 Гн = 6 мкГн.
Схема искомого полосового фильтра приведена на рис. 17.19.
Рис. 17.19
Преобразование передаточных функций активных RC-фильтров. В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (17.31) получаем для ФВЧ 
или 
(17.34) где н.ч = н.ч/п и в.ч = в.ч/ п.
Заменяя в (17.34) оператор j на оператор р, запишем преобразование переменной р в выражении нормированной по частоте передаточной функции ФНЧ-прототипа: 
(17.35)
Передаточная функция полиномиального звена второго порядка ФНЧ имеет вид: 
(17.36)
Замена переменной (17.35) в этом выражении приводит к передаточной функции полиномиального звена второго порядка ФВЧ: 
(17.37)
Для реализации звена с передаточной функцией (17.37) может быть использована схема рис. 17.14, б, в которой следует выбрать проводимости Y2 и Y5 – активными, т. е. Y2 = G2 и Y5 = G5, а проводимости Y1, Y3 и Y4 – емкостными, т. е. Y1 = pC1; Y3 = pC3 и Y4 = pC4. Подставляя эти значения проводимостей в выражение (17.28), получаем передаточную функцию 
(17.38) ARC-звена ФВЧ второго порядка, схема которого дана на рис. 17.20. Значения элементов схемы будут найдены, если приравнять коэффициенты из (17.37) и (17.38) при соответствующих степенях р.
 |
|
| Рис. 17.20 | Рис. 17.21 |
Для перехода от НЧ-прототипа к полосовому фильтру воспользуемся (17.33): 
или 
(17.39) где н.ч = н.чп; п.ф = п.ф/ п; 0 = 0/ п.
Вводя переменную p = j и учитывая, что p2 = –2, находим из (17.39): 
(17.40)
Такая замена переменной pн.ч в (17.36) приводит к передаточной функции полосового фильтра: 
(17.41) где b'4 = b2; b'3 = b1; b'2 = 2b202 + b0; b'1 = b1 02; b'0 = b204.
Видим, что при переходе к ПФ порядок передаточной функции удваивается. Передаточную функцию (17.41) можно разбить на произведение передаточных функций второго порядка и каждую из них реализовать отдельной ARC-схемой.
Запишем передаточную функцию ПФ второго порядка: 
(17.42)
Подобную передаточную функцию имеет ARC-схема, изображенная на рис. 17.14, б при Y1 = G1, Y2 = G2, Y5 = G5 и Y3 = = pC3, Y4 = pC4. Действительно, из (17.28) находим: 
(17.43)
Элементы схемы фильтра (рис. 17.21) определяются сопоставлением (17.42) и (17.43).
Порядок синтеза ФВЧ, ПФ и ЗФ. С помощью преобразования частоты был осуществлен переход от ФНЧ к другим типам фильтра. Однако для их синтеза этого недостаточно, так как исходными при синтезе ФВЧ, ПФ и ЗФ являются требования не к ФНЧ, а к данным фильтрам. Поэтому вначале требуется выполнять обратный переход. Сформулируем порядок синтеза ФВЧ, ПФ, ЗФ: 1) по заданным требованиям к ФВЧ, ПФ и ЗФ необходимо определить требования к ФНЧ; 2) решить задачу аппроксимации для ФНЧ (получить квадрат АЧХ или операторную передаточную функцию); 3) реализовать квадрат АЧХ в виде лестничного ФНЧ и перейти с помощью преобразования частоты к схеме требуемого типа фильтра (если выбрана пассивная схема фильтра); 4) используя соответствующее преобразование частоты, перейти от операторной передаточной функции ФНЧ к операторной передаточной функции искомого фильтра и реализовать его в виде ARC-схемы (если выбран активный RCфильтр).
Рассмотрим более подробно первый пункт.
Пусть заданы требования к ФВЧ, т. е. заданы пв.ч, зв.ч, Арmax и Арmin (см. рис. 17.17). Определим требования к ФНЧ. Если в выражение (17.31) вместо в.ч подставить пв.ч, то согласно рис. 17.17 получим 
Откуда: 
Величины Арmax и Арmin остаются для ФНЧ такими же как и для ФВЧ. Таким образом получены требования к ФНЧ. По найденным требованиям к ФНЧ решаем задачу аппроксимации одним из методов, изложенных выше.
Пусть заданы требования к ПФ, т. е. известны з1, п1, п2, з2, а также ослабление в полосе пропускания Арmax и в полосе задерживания Арmin (см. рис. 17.18). Подставим в выражение (17.32) последовательно граничные частоты полос пропускания и задерживания полосового фильтра. Как видно из рис. 17.18, в результате такой подстановки получим: 
Учитывая, что 
получим окончательно: 
Требования по ослаблению к ФНЧ-прототипу остаются такими же, как и к ПФ. Следовательно, имеются все исходные данные для решения задачи аппроксимации ФНЧ.
Аналогично решается задача для ЗФ. Граничные частоты для ПП и ПЗ фильтров рассчитываются по формулам
