На вход группы из N корреляторов подается белый гауссов процесс шума n(t) с нулевым средним и двусторонней спектральной плотностью мощности N0/2. Выходом каждого коррелятора в момент времени t = Т является гауссова случайная переменная, определяемая следующим образом.

(B.1)

Здесь сигналы {} формируют ортонормированное множество. Поскольку переменная nj является гауссовой, она полностью определяется средним и дисперсией. Среднее nj равно

, (В.2)

где — оператор математического ожидания. Дисперсия nj равна

(В.З)

= (В.4)

= (В.5)

Поскольку n(t) - это процесс с нулевым средним,

Е{n(t)} = 0. (В.6)

Отсюда следует

(В.7)

Автокорреляционная функция процесса n(t) равна следующему.

(В.8)

Если шум n(t) предполагать стационарным, то Rn(t,s) зависит только от разности времен t = - s. Из уравнения (В.5) получаем следующее.

(B.9)

Для стационарного случайного процесса спектральная плотность мощности Gn(f) и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга. Таким образом, можем записать следующее.

(В.10)

Поскольку n(t) — это белый шум, его спектральная плотность мощности Gn(f) равна для всех f, и предыдущее выражение можно переписать следующим образом.

(B.11)

где — единичная импульсная функция, определенная в разделе А.4.1. Подставляя выражение (В. 11) в (В.9), получаем следующее.

(В.12)

= (B.13)

Здесь было использовано просеивающее свойство единичной импульсной функции (см. раздел А.4.1) и то, что функции {}, j= 1, ...,N, составляют ортонормированное множество. Таким образом, для белого гауссова шума с двусторонней спектральной плотностью мощности Вт/Гц, мощность шума на выходе каждого из N корреляторов равна Вт.