Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей при нулевых начальных условиях играют операторные передаточные функции, которые определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

где Ни(р), Hi(p) имеют смысл операторных передаточных функций по напряжению и току; НL(р); НY(р) —операторные передаточные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций Н(jw), широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.40) нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи можно представить как дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами:

или в виде

где p01, p02, ..., p0n — нули; p1, p2, ..., pm — полюсы передаточной функции; Н = аn/bm.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на jw, получим комплексную передаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

ФЧХ цепи

Учитывая, что согласно (7.43) |H(jw)| является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты сk и dk получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции Ни(р) = U2(р)/U1(р). Выберем входное воздействие u1(t) = d(t) или в операторной форме U(р) = l. Изображение выходного напряжения U2(р) = U1(р)Ни(р) в этом случае численно равно Ни(р), т. е.

где w(p) полином числителя передаточной функции; A1, A2, ..., Am, коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения U2(p) к оригиналу u2(t):

где в общем случае pi = ai + jwi.

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (7.46) вещественные части полюсов pi должны быть отрицательными (ai < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.