Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал, если форма его известна. К их числу относится задача приема телеграфных сигналов, сигналов при импульсно-кодовой модуляции, радиолокационных сигналов. В этих случаях важным параметром, характеризующим качество обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр, максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным фильтром.

Пусть на входе фильтра действует сумма сигнала s(t) и помехи (t), т. е. колебание x(t)=s(t)+(t). Полезный сигнал s(t) рассматривается не как случайный процесс, а как функция известной формы со спектральной плотностью

где S() и — амплитудный и фазовый спектры сигнала. Помеху будем считать стационарным случайным процессом типа белого шума со спектральной плотностью

Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде

Сигнал на выходе фильтра, очевидно, равен сумме полезного сигнала yc(t) и помехи yП(t):

Полезный сигнал на выходе можно записать в виде

Пиковая мощность сигнала в некоторый момент будет равна:

,

а мощность помехи

Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени t0 будет определяться следующим выражением:

(4.32)

Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра, чтобы отношение сигнала к помехе q на его выходе было максимальным. На основании неравенства БуняковскогоШварца получаем

(4.33)

Таким образом, при любой характеристике фильтра отношение сигнала к помехе не может превосходить максимального значения

(4.34)

где Е — полная энергия сигнала. Указанная максимальная величина q достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет следующее выражение:

(4.35)

где S(—i)=S()e —функция, комплексно-сопряженная со спектром сигнала S(i),с— произвольная постоянная. В этом нетрудно убедиться путем непосредственной подстановки выражения (4.35) в равенство (4.32).

Выражение (4.35) можно записать в виде двух равенств:

(4.36)

из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а фазо-частотная характеристика определяется фазовым спектром сигнала и линейной функцией частоты . Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра полностью определяется спектром сигнала, «согласована» с ним. Отсюда и название — согласованный фильтр.

Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра равна:

При t=t, =0, т. е. в момент t, все гармонические составляющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя в этот момент пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные же составляющие помехи на выходе фильтра имеют случайную фазу. Этим и объясняется доказанное выше положение о том, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнала к помехе на выходе.

Рис. 4.9. Сигнал s(t) (а) и импульсный отклик согласованного фильтра g(t)(б)

Импульсный отклик согласованного фильтра легко определяется на основании преобразования Фурье. Согласно (4.35) имеем

(4.37)

Итак, импульсным откликом согласованного фильтра является зеркальное отображение сигнала относительно в масштабе «с»(рис. 4.7). Из рис. 4.9 видно, что t0 не может быть меньше момента окончания сигнала Т. Это означает, что для практически реализуемого фильтра должно выполняться условие . Для уменьшения времени анализа целесообразно принять t=T.

Напряжение на выходе согласованного фильтра в некоторый момент времени t согласно интегралу Дюамеля равно:

(4.38)

где

Равенство (4.38) показывает, что напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально функции взаимной корреляции принятого сигнала x(t) и переданного сигнала s(t). В этом отношении согласованный фильтр адекватен коррелятору.

Сигнал на выходе фильтра (без помех) соответственно будет равен:

(4.39)

Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя с совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала. При значение функции Bs(0) равно энергии сигнала Е. Следовательно, максимальное значение сигнала на выходе . Длительность сигнала на выходе фильтра определяется интервалом корреляции. Дт (2.24). В зависимости от типа сигналов, где Т — длительность сигнала на входе. Появляется возможность сжатия сигнала

во времени. Так, для шумоподобных сигналов . Коэффициент сжатия при этом равен базе сигнала:

Синтез согласованных фильтров можно производить по импульсному отклику g(t) или спектральным способом по коэффициенту передачи .

В качестве примера рассмотрим построение согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса, заданного в виде:

при s(t) = 0 при и t>T

Спектр такого импульса, как известно, . На

основании (4.35) коэффициент передачи согласованного фильтра будет

(4.40)

Импульсная переходная характеристика такого фильтра g(t) совпадает по форме с самим сигналом s(t); действительно, из соотношения (4.37) следует, что

g(t)=cs(T-t)=cA при g(t)=0 при t<0 и t>T

Известно, что умножение на в частотной области соответствует интегрированию в пределах от до временной области, а умножение на соответствует задержке сигнала на время T.

Следовательно, фильтр с коэффициентом передачи (4.40) состоит из интегратора И, коэффициент передачи которого равен: линии задержки на время Т с коэффициентом передачи

Рис. 4.10. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса (а),сигнал на его входе (б) и выходе (в)

вычитающего устройства В (рис. 4.10а). Сигнал на выходе фильтра согласно (4.39) имеет форму равнобедренного треугольника (рис. 4.106) с основанием 2Т и высотой, равной энергии сигнала сА²Т, т. е.

при = при T<t<2T

Рассмотрим второй пример — согласованный фильтр для радиоимпульса. Пусть сигнал задан в виде:

при s(t) = 0 при и t>T

Предположим для простоты, что Т=(2п+1), т. е. на интервале (0, Т) укладывается нечетное число полупериодов. Тогда на этом интервале

Такой импульсной реакцией (с точностью до постоянного множителя) обладает колебательный контур без потерь.

Радиоимпульс и соответствующая ему импульсная характеристика фильтра g(t) могут быть представлены как разность двух синусоид, сдвинутых одна относительно другой на время Т.

Рис. 4.11. Согласованный фильтр для радиоимпульса (а), сигнал на его входе (б) и выходе (в)

Поэтому схема согласованного фильтра для радиоимпульса (рис. 4.11 а) отличается от схемы рис. 4.10a только тем, что вместо интегратора И включен высокодобротный колебательный контур с собственной частотой . Постоянная времени контура, очевидно, должна быть много больше длительности сигнала Т. Если в отрезке времени Т вмещается четное (но целое) число полуволн, то вычитающее устройство должно быть заменено сумматором. При подаче на вход радиоимпульса (рис. 4.116) выходной сигнал будет иметь вид, показанный на рис. 4.11б. Этот сигнал совпадает по форме с автокорреляционной функцией входного сигнала Bs(). Максимальное значение сигнала на выходе фильтра

Если длительность импульса не кратна периоду заполнения или начальная фаза заполнения такова, что сигнал начинается не с нулевого значения, то схема рис. 4.1 a должна быть дополнена фазокорректирующими элементами.

Рассмотрим теперь сигнал, представляющий собой последовательность п равноотстоящих одинаковых импульсов:

Спектр такого сигнала

где — спектр первого импульса, начинающегося в момент — спектр второго импульса, начинающегося в момент ^:t=T, и т. д. Так как длительность сигнала равна , то в соответствии с выражением (4.35) коэффициент передачи согласованного фильтра будет

где — коэффициент передачи фильтра, согласованного с первым одиночным импульсом. Выражение в квадратных скобках является геометрической прогрессией. При достаточно большом п

есть не что иное, как коэффициент передачи гребенчатого фильтра. Функция имеет максимумы на частотах, кратных периоду повторения импульса Таким образом,

Отсюда следует, что согласованный фильтр для последовательности равноотстоящих и одинаковых импульсов может быть осуществлен в виде каскадного соединения согласованного фильтра для одиночного импульса (рис. 4.10а) и гребенчатого фильтра с коэффициентом передачи

Если сигнал представляет собой последовательность радиоимпульсов, то под следует понимать коэффициент передачи фильтра, согласованного с первым одиночным радиоимпульсом.

В ряде случаев согласованные фильтры оказываются практически трудно реализуемыми. Поэтому часто применяют фильтры, которые согласованы с сигналом только по полосе (квазиоптимальные фильтры). Оптимальная полоса для различных импульсов различна и может быть вычислена без особых трудностей. Так, для фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, на который воздействует радиоимпульс прямоугольной формы длительности

, оптимальная полоса равна Можно показать, что отношение сигнала к помехе на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с согласованным фильтром уменьшается на величину порядка 15—20% [8].