10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши
10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.
Общий вид ,
где n - порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.
Примеры:
Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример:
- дифференциальное уравнение в дифференциалах.
или
- общий интеграл.
Задача Коши. Начальные условия: и
Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.
10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
– уравнение, разрешенное относительно производной.
Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).
Пусть непрерывна в открытой области Д и
.
Открытая область – это область без своей границы.
– существует и непрерывна в Д, гладкая по
.
Пусть
Тогда имеется решение такое, что
, и это решение единственное.
УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).
- УРП, если
.
- разделение переменных
- общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример:
Однородное уравнение 1-ого порядка.
- называется однородным если функция
, является однородной функцией, нулевого измерения.
- однородная функция n-ого измерения если
(0-е измерение)
(2-ого порядка)
(неоднородная)
Введем новую функцию:
Уравнение примет вид:
- уравнение с разделяющимися переменными
Пример:
Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение
Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где
и
- произвольные функции от
.
- линейное уравнение без правой части.
Два метода решения линейных уравнений:
- Метод Бернулли
- Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
-
- Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций
- Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций
Выберем так, чтобы
.
- Метод Лагранжа:
- уравнение без правой части.
(2)
- удовлетворяет уравнению (2).
Пример:
1)
2)
10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
(****),
и
- константы – неоднородное или с правой частью.
(***) - однородное или без правой части.
- общее решение уравнения (****), где
- общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где
и
- произвольные постоянные, а
и
- линейно независимые решения (***).
- какое-либо частное решение уравнение (****).
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.
Будем искать и
в виде
.
Подставим в уравнение (***).
- характеристическое уравнение для уравнения (***).
Случай 1)
и
- действительные различные корни.
Случай 2)
, где
- корень уравнения кратности 2.
Подставим в уравнение (***).
, так как
- это корень.
Случай 3)
, где
-мнимая единица
.
Подставим в уравнение (***).
- линейно независимые, следовательно:
Пример:
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.
- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.
а)
,где А - неопределенный коэффициент.
Пример:
б)
Общий случай
- характеристическое уравнение.
а) Если не корень характеристического уравнения:
б) Если корень характеристического уравнения кратности
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
1 |
2 |
|
2 |
0 |
|
1 |
2 |
|
0 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
i |
|
1 |
2 |
|
1 |
i |
|
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
1+i |
|
0 |
1 |
|
2 |
0 |
|
2 |
2 |
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
i |
-i |
|
0 |
i |
|
2+i |
2-i |
|
0 |
2 |
|
2+i |
2-i |
|
0 |
2+i |
|
Теорема. Если , то
, где
отвечает за
, а
отвечает за
.
- частное решение уравнения
, а
- частное решение уравнения
.
Общая классификация дифференциальных уравнений