В настоящее время в связи с широким распространением цифровых систем передачи и обработки информации возникла необходимость изучения принципов формирования и методов оценки характеристик таких сигналов. Как известно из предыдущего материала, формирование цифрового сигнала включает в себя следующие операции: дискретизацию аналогового сигнала во времени, квантование дискретного сигнала по уровню и перекодирование значений квантованного сигнала из одной системы счисления в другую (в подавляющем большинстве случаев – в двоичную). Мы начнем с рассмотрения спектральных характеристик дискретного сигнала.
Напомним, что дискретный сигнал (или дискретная последовательность) формируется при помощи перемножителя (рис. 8.1), на один из входов которого поступает аналоговый сигнал
, а на второй – последовательность коротких импульсов
с периодом следования
, значение которого определяется теоремой Котельникова
,
где или
– верхняя граничная частота аналогового сигнала
.
Тогда дискретный сигнал может быть описан выражением
. (8.1)
Вычислим спектр дискретного сигнала. В первую очередь, рассмотрим второй сомножитель выражения (8.1)
. (8.2)
Этот сомножитель представляет собой математическое описание периодической последовательности импульсов. Обычно при осуществлении операции дискретизации форма импульса выбирается прямоугольной. Поэтому в дальнейшем будем полагать, что
представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитудой
и длительностью
, следующих с периодом
.
Как известно, периодическая последовательность прямоугольных импульсов может быть представлена рядом Фурье, который для рассматриваемого случая принимает вид
. (8.3)
где ,
– скважность,
.
Тогда с учетом (8.3) выражение (8.1) принимает вид
. (8.4)
Применим к (8.4) прямое преобразование Фурье
.
Подстановка в эту формулу выражения (8.4) дает
. (8.5)
Интеграл первого слагаемого в (8.5) представляет собой спектр исходного аналогового сигнала. Представим второе слагаемое в (8.5) в виде
. (8.6)
Учитывая, что , запишем
. (8.7)
Тогда с учетом (8.6) и (8.7) выражение (8.5) принимает вид
. (8.8)
Здесь пределы суммирования составляют в виду того, что спектр
распространяется на область отрицательных частот.
Дальнейший спектральный анализ дискретного сигнала существенно упрощается, если предположить, что дискретизация осуществляется последовательностью прямоугольных импульсов единичной площади. В этом случае амплитуда импульса и выражение (8.8) запишется следующим образом
. (8.9)
Если устремить , т.е. перейти к последовательности бесконечно коротких импульсов (
-импульсов), т.е.
, (8.10)
то с учетом того, что , спектральная функция дискретного сигнала окончательно принимает вид
. (8.11)
На рис. 8.2 а) представлен аналоговый сигнал и условное изображение модуля его спектральной функции
, а на рис. 8.2б – дискретный сигнал
и модуль его спектра
. Из выражения (8.11) и рис. 8.2 следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечную последовательность копий спектра исходного аналогового сигнала
, причем эта последовательность носит периодический характер. Расстояние по оси частот между отдельными копиями составляет
(или
), что соответствует периоду последовательности копий на оси частот. Отметим, что
(или
) – это частота дискретизации. Таким образом, период спектральной функции дискретного сигнала равен частоте дискретизации.