4.3.1. Области решений

4.3.2. Корреляционный приемник

4.3.2.1. Порог двоичного решения

Полосовая модель процесса обнаружения, рассмотренная в данной главе, практически идентична узкополосной модели, представленной в главе 3. Дело в том, что принятый полосовой сигнал вначале преобразовывается в узкополосный, после чего наступает этап окончательного обнаружения. Для линейных систем математика процесса обна­ружения не зависит от смещения частоты. Фактически теорему эквивалентности можно определить следующим образом: выполнение полосовой линейной обработки сигнала с последующим наложением сигнала (превращением полосового сигнала в узкополосный) дает те же результаты, что и наложение сигнала с последующей узко­полосной линейной обработкой сигнала. Термин "наложение сигнала" (heterodyning) обозначает преобразование частоты или процесс смешивания, вызывающий смещение спектра сигнала. Как следствие теоремы эквивалентности, любая линейная модель обработки сигналов может использоваться для узкополосных сигналов (что предпоч­тительнее с точки зрения простоты) с теми же результатами, что и для полосовых сигналов. Это означает, что производительность большинства цифровых систем связи часто можно описать и проанализировать, считая канал передачи узкополосным.

4.3.1. Области решений

Предположим, что двухмерное пространство сигналов, изображенное на рис. 4.6, — это геометрическое место точек, возмущенных шумом двоичных векторов-прототипов . Вектор шума n — это случайный вектор с нулевым средним; следова­тельно, вектор принятого сигнала г — это случайный вектор со средним значением s, или s2. Задачей детектора после получения г является принятие решения относитель­но классификации сигнала, имеющего минимальную вероятность ошибки Pв, хотя возможны и другие стратегии принятия решения [2]. Для случая М = 2 с равновероят­ными сигналами s1 и s2 и при шуме AWGN (additive white Gaussian noise — аддитив­ный белый гауссов шум) использование при принятии решения критерия минимума ошибки равносильно такому выбору класса сигнала, чтобы расстояние было минимальным, где ||х|| — норма или абсолютная величина вектора х. Последнее правило часто формулируется в терминах областей решений. Обратимся к рис. 4.6 и рассмотрим формирование областей решений. Итак, вначале необходимо соединить концы векторов-прототипов s1 и s2. Затем через середину полученного отрезка прово­дится плоскость, перпендикулярная к нему. Отметим, что поскольку амплитуды сиг­налов s1 и s2 равны, эта плоскость проходит через начало координат и является бис­сектрисой угла, образованного векторами-прототипами. Эта биссекторная плоскость, изображенная на рис. 4.6 для случая М = 2, является геометрическим местом точек, равноудаленных от векторов s1 и s2; следовательно, она является границей между об­ластью решений 1 и областью решений 2. Правило принятия решения, используемое детектором, формулируется в терминах областей решений следующим образом: если сигнал расположен в области 1 — отнести принятый сигнал к s1; если в области 2 — выбрать сигнал s2. Если угол θ (рис. 4.6) равен 180°, набор сигналов s1 и s2 описывает модуляцию BPSK. Впрочем, для иллюстрации идеи области решений вообще угол θ на рисунке был заведомо выбран меньшим 180°.

Рис. 4.6. Двухмерное пространство сигналов с равными по модулю произвольными векторами s1 и s2

4.3.2. Корреляционный приемник

В разделе 3.2 было рассмотрено обнаружение узкополосных двоичных сигналов в гауссовом шуме. Поскольку при обнаружении полосовых сигналов используются те же понятия, в данном разделе мы просто обобщим ключевые результаты. Основное внимание будет уделено реализации согласованного фильтра, известного как коррелятор (correlator). Помимо двоичного обнаружения будет рассмотрен бо­лее общий случай М-арного обнаружения. Предполагается, что сигнал искажается только вследствие шума AWGN. Принятый сигнал будем описывать как сумму переданного сигнала и случайного шума.

(4.14)

При наличии подобного принятого сигнала процесс обнаружения, как показано на рис. 3.1, включает два основных этапа. На первом этапе принятый сигнал r(t) усекается до одной случайной переменной z(T) или до набора случайных переменных zi(T) (i=1,...,М), формируемых на выходе демодулятора и устройства дискретиза­ции в момент времени t = Т, где Т — длительность символа. На втором этапе на основе сравнения z(T) с порогом или согласно критерию максимума zi(T) прини­мается решение относительно значения cимвола. Вообще, этап 1 можно рассмат­ривать как преобразование сигнала в точку в пространстве решений. Эту точку, представляющую собой важнейшую контрольную точку в приемнике, можно на­звать додетекторной (predetection). Когда мы говорим о мощности принятого сиг­нала, мощности принятых шумов или отношении еь/nq, все эти величины всегда рассматриваются относительно додетекторной точки. Иногда такие параметры оп­ределяются относительно входа приемника или принимающей антенны. Но в по­добных случаях всегда подразумевается, что между выбранной и додетекторной точками не происходит снижения отношения сигнал/шум, или Eb/N0. В каждый момент передачи символа сигнал, доступный в додетекторной точке, является вы­боркой узкополосного импульса. На данный момент битового значения у нас еще нет. Стоит ли удивляться, что отношение энергии бита к N0 определено там, где еще не существует бита? В действительности, нет, поскольку данная точка явля­ется удобной контрольной точкой, где узкополосный импульс — даже до приня­тия решения на битовом уровне — может давать эффективное представление би­тов. Этап 2 можно рассматривать как определение того, в какой области решений расположена данная точка. Для оптимизации детектора (в смысле минимизации вероятности ошибки) необходимо оптимизировать преобразование сигнала в слу­чайную переменную с использованием согласованных фильтров или корреляторов на этапе 1 и оптимизировать критерий принятия решения на этапе 2.

В разделах 3.2.2 и 3.2.3 показывалось, что согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в момент t = Т. Как одна из реализаций согласованного фильтра описывался коррелятор. Теперь мы можем опре­делить корреляционный приемник (correlation receiver), состоящий, как показано на рис. 4.7, а, из М корреляторов, выполняющих преобразование принятого сигнала r(t) в последовательность М чисел или выходов коррелятора, zi(T) (i=1,...,М). Каждый вы­ход коррелятора описывается следующим интегралом произведения или корреляцией с принятым сигналом.

(4.15)

а)

б)

Рис. 4.7. Корреляционный приемник: а) корреляционный приемник с опорными сигналами ; б) корреляционный приемник с опорными сигналами

Глагол "коррелировать" означает "совпадать", "согласовываться". Корреляторы пытаются найти соответствие принятого сигнала r(t) с каждым возможным сигналом-прототипом si(t), известным приемнику априори. Разумное правило принятия реше­ния звучит так: выбирать сигнал si(t), лучше всего согласующийся, (или имеющий наи­большую корреляцию) с r(t). Другими словами, правило принятия решения выглядит следующим образом.

Выбрать сигнал si(t), индекс которого

Соответствует максимальной zi(T) (4.16)

Следуя формуле (3.10), любой набор сигналов можно выразить через определенный набор базисных функций . Таким образом, группу из М корреляторов, изображенную на рис. 4.7, а, можно заменить группой из N корреляторов, показанной на рис. 4.7, б, где в качестве опорных сигналов используется на­бор базисных функций . Для принятия решения с помощью указанных корреляторов необходима логическая схема выбора сигнала si(t) Выбор производится на основе опреде­ления наилучшего согласования коэффициентов aij, фигурирующих в формуле (3.10), с на­бором выходов {zj(T)}. Если набор сигналов-прототипов {s,{t)} формирует ортогональное множество, реализация приемника, показанная на рис. 4.7, а, идентична реализации, по­казанной на рис. 4.7, б (могут отличаться масштабом). Если же {si(t)} не является ортого­нальным множеством, приемник (рис. 4.7, б), использующий N корреляторов с опорными сигналами вместо М, представляет более рентабельную реализацию. В разделе 4.4.3 мы рассмотрим применение подобного устройства для обнаружения сигнала в модуляции MPSK (multiple phase shift keying — многофазная манипуляция).

В случае двоичного обнаружения корреляционный приемник, как показано на рис. 4.8, а, можно построить как согласованный фильтр или интегратор произведений с опорным сигналом, равным разности двоичных сигналов-прототипов . Вы­ход коррелятора z(T) используется непосредственно в процессе принятия решения.

а)

б)

Рис. 4.8. Двоичный корреляционный приемник: а) использование одного коррелятора; б) применение двух корреляторов

При двоичном обнаружении корреляционный приемник можно изобразить как два согласованных фильтра или интегратора произведений, один из которых согласовывается с s1(t), а второй — с s2(t) (рис. 4.8, б). На этапе принятия решения теперь может использо­ваться правило, приведенное в формуле (6.16), или же из выхода одного коррелятора мож­но вычесть выход другого и на этапе принятия решения использовать разность

, (4.17)

как показано на рис. 4.8, б. Здесь z(T), называемое тестовой статистикой (test statistic), подается в схему принятия решения, как и в случае только одного корреля­тора. В отсутствие шума на выходе мы получаем z(7) = аi(T), где ai(T) — сигнальный компонент. Входной шум и(7) при этом является случайным гауссовым процессом. Поскольку коррелятор — это линейное устройство, выходной шум является случайным гауссовым процессом [2]. Таким образом, можно записать выражение с выхода корре­лятора в момент взятия выборки t = Т:

где п0(Т) — компонент шума. Для сокращения записи мы иногда будем выражать z(t) как а, + n0. Компонент шума п0 — это гауссова случайная переменная с нулевым сред­ним; следовательно, z(T) — это гауссова случайная переменная со средним a1 или а2в зависимости от того, была передана двоичная единица или двоичный нуль.

4.3.2.1. Порог двоичного решения

На рис. 4.9 для случайной переменной z(T) показаны две плотности условных вероятностей — и — со средними значениями а1и а2. Эти функции, име­нуемые правдоподобием s1 и правдоподобием s2, были представлены в разделе 3.1.2. Приведем их повторно.

(4.18,а)

и

(4.18,б)

Здесь — дисперсия шума. На рис. 4.9 правое правдоподобие иллюстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектора z(T) при переданном сигнале s1. Подобным образом левое правдоподобие p(z|s2) демонстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектор z(T) при переданном сигнале s2. Абсцисса z(T) представляет полный диапазон возможных значений выборок на выходе корреляционного приемника, показанного на рис. 4.8.

Рис. 4.9. Плотности условных вероятностей и

При рассмотрении задачи оптимизации порога двоичного решения относительно принадлежности принятого сигнала к одной из двух областей, в разделе 3.2.1 было показано, что критерий минимума ошибки для равновероятных двоичных сигналов, искаженных гауссовым шумом, можно сформулировать следующим образом.

(4.19)

Здесь — сигнальный компонент z(Т) при передаче s1(t), а — сигнальный компонент z(T) при передаче s2(t). Порог γ0, равный (а1 + а2)/2 — это оптимальный порог для миними­зации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симмет­ричных правдоподобиях. Правило принятия решения, приведенное в формуле (4.19), ука­зывает, что гипотеза H1 (решение, что переданный сигнал — это s1(t)) выбирается при z(T)> γ0, а гипотеза Н2(решение, что переданный сигнал — это s2(t)) — при z(T) < γ0. Если z(T) = γ, решение может быть любым. При равновероятных антиподных сигналах с равны­ми энергиями, где s1(t)= -s2(t) и а1 = -а2, оптимальное правило принятия решения прини­мает следующий вид.

(4.20,а)