В выражение (8.41) входят функции . Наличие трансцендентных функций затрудняет анализ дискретных сигналов и цепей. Для упрощения анализа удобно сделать замену

, где .

При такой замене указанные трансцендентные функции комплексной переменной преобразуются в соответствующие -изображения, являющиеся алгебраическими функциями переменной . Преобразование в плоскость осуществляется при помощи следующих соотношений, связывающих координаты какой-либо точки на плоскости с координатами соответствующей точки на плоскости :

,

; . (8.43)

Например, точка с координатами , со ответствует точке с координатами , (рис. 8.9). При движении точки на плоскости вдоль оси соответствующая ей точка описывает окружность единичного радиуса на -плоскости. При этом один оборот точки соответствует изменению частоты от до . Точки, лежащие в левой полуплоскости внутри области однозначно отображаются внутри круга единичного радиуса - плоскости.

Пусть дискретная последовательность представлена в виде

.

Тогда преобразование такой последовательности

,

представляет собой ряд и определено только для тех значений , при которых этот ряд сходится.

Отметим некоторые свойства - преобразования:

1. Линейность. Если последовательности соответствует - преобразование , а последовательности – z-преобразование , то

. (8.44)

2. -преобразование задержанной последовательности. Пусть последовательность является задержанной на n тактов. Ее -преобразование

. (8.45)

Таким образом, при задержке последовательности на тактов необходимо умножить ее -преобразование на .

Возвратимся к выражению (8.40). Применяя к обеим частям уравнения -преобразование с учетом второго свойства (8.45), получим:

,

откуда следует

. (8.46)

Отношение (8.46) называется системной функцией дискретной цепи. Системная функция для дискретной цепи играет ту же роль, что и комплексный коэффициент передачи или передаточная функция для непрерывной цепи.

Обратимся к выражению (8.39). Применяя -преобразование к обеим частям выражения, получим

,

откуда следует, что системная функция представляет собой –преобразование импульсной характеристики цепи.