1. Введение в анализ. Теория пределов. Математический анализ

: Категория: Математический анализ

1.1. Комплексные числа

1.2. Функция, способы задания, простейшие свойства

1.3. Предел функции, свойства пределов

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

1.1. Комплексные числа (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂i

Действия над КЧ

Z₁ Z₂ = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i i² = – 1 i³ = i i⁴ = 1

Z₁ Z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i
+ a₂b₁i
+ b₁b₂i² =

= (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

– деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ

Аргумент КЧ

Аргумент КЧ – .

Полярная система координат

Декартова система. Полярная система

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

;

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера

– Формула Эйлера

– взаимосвязь между e,
i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

Извлечение корня из КЧ

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства

Основные обозначения:

N – натуральные числа,

Q – рациональные(дробные),

Z – целые числа,

R – действительные числа;

Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное множество.

Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

[a, b] – замкнутый интервал, (a, b) – открытый интервал

Окр [x₀] – окрестность точки x₀, любой открытый интервал, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b, – окрестность x₀

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

Элементарные
Неэлементарные (специальные).

Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

Основные элементарные функции

а) степенные y = xⁿ

б) показательные y = a^x

в) тригонометрические y = sin x и другие.
Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).
f

X Y

f ^-1(обратная функция)

Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим

Пример:

y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций

Четность –
Нечетность –
Периодичность –

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности

1.3. Предел функции. Свойства пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

– предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента .
Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) =

y = f(x) = x²

Пример:

y =, когда ,

Неопределенности:

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Если функция f(x) имеет предел в точке a , то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем .
Обратное неверно.

Контрольный пример:

в окрестности точки 0.

– не существует.

Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

– бесконечно малая величина (б.м.в.).

– бесконечно малая величина при
– бесконечно малая величина при
s

Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

– бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной

Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при
– бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что .
Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: .
При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как ,
то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

,
где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что ,
а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что ,
то

Примеры:

Учитывая, что .

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

– более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").

– более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3: при .

Теорема. Если и эквивалентны (), то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

Тогда .

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

Определение 1.
Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2.
Функция непрерывна, если.

Определение 3.
Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).