Дискретный сигнал и его спектр описываются формулами (8) и (7).
Произведем в формуле (7) замену:
.
Тогда формула примет вид:
. (12)
Выражение (12) получило название z-преобразования или z-изображения дискретного сигнала . Если начать суммирование с n = 0, то выражение
. (13)
есть одностороннее z-преобразование. Оно применяется для сигналов º 0 при n < 0.
Можно указать на связь z-преобразования с преобразование Лапласа дискретного сигнала
,
которое легко получить из (7), положив .
Очевидно, что или
.
Эти формулы устанавливают связь между точками в плоскостях и
(рис. 20).
Если положить a = 0, то мы будем перемещаться по оси jw в плоскости р. При переходе в z-плоскость точки мнимой оси jw будут располагаться на единичной окружности . Причем, точка j0 на р-плоскости переходит в точку z = +1 на вещественной оси z-плоскости, а точки
– в точку z = –1. Это означает, что точки отрезка (
) р-плоскости проектируются в точки на единичной окружности z-плоскости. Так как функция
периодическая, то последующие отрезки оси jw на p-плоскости такой же длины будут вновь проектироваться на единичную окружность.
Точкам левой р-полуплоскости соответствуют точки внутри единичной окружности z-плоскости, а точкам правой p-полуплоскости – точки вне этой окружности.
Пример 9.1. Рассчитаем z-преобразование дискретного сигнала , имеющего вид
Рис. 20
Воспользовавшись формулой (13), получим
.
Пример 9.2. Найдем z-преобразование дискретного экспоненциального сигнала
.
Подставим значение в формулу (13), получим
.
Из теории рядов следует, что при выполнении условия сумма ряда
равна
или
.
Рис. 21
Z-преобразование дискретного сигнала
определено только для области z, в которой степенной ряд (13) сходится. Эта область сходимости включает в себя все значения z, находящиеся вне некоторого круга на комплексной z-плоскости, радиус которого
называется радиусом сходимости (рис. 21), т.е. при
ряд сходится. В области сходимости существует взаимно-однозначное соответствие между
и
, т.е. каждому
соответствует одно и только одно
, определенное для
и наоборот.
Пример 9.3. Определим радиус сходимости для z-преобразования сигнала, заданного в примере 9.2.
Как уже было установлено, z-преобразование сигнала имеет вид
.
Нуль функции будет в точке
, полюс – в точке
. Следовательно, радиус сходимости
, а функция
сходится при
.
Окружность, имеющая радиус сходимости , приведенана рис. 20. Область сходимости находится за пределами этой окружности.
Пример 9.4. Найдем z-преобразование сигнала , n ³ 0. Этот дискретный сигнал показан на рис. 22 для трех различных значений a: а = 0,8; а = 1; а = –0,8.
В соответствии с (13) z-преобразование такого дискретного сигнала равно
. (14)
Из математики известно, что этот ряд сходится к функции
, (15)
если или
.
Рис. 22
Функция имеет нуль при z = 0, а ее полюс
лежит на окружности радиусом
, ограничивающей область сходимости.
На рис. 22 показано расположение нуля и полюса функции в z-плоскости при различных а.
Самоконтроль
1. Как рассчитать z-изображение дискретного сигнала?
2. Как связаны одностороннее z-преобразование и преобразование Лапласа?
3. Какие точки z-плоскости соответствуют точкам левой (правой) р-полуплоскости?
4. Что такое радиус сходимости?
5. Найдите z-изображение дискретного сигнала = {0; 1; 2; 3}.
6. Найдите z-изображение дискретного сигнала .
7. Найдите радиус сходимости для z-преобразования сигнала .