В общем виде задача изучения прохождения случайных сигналов через линейные цепи состоит в определении закона распределения (функции распределения или плотности вероятности) процесса на выходе цепи при известных законе распределения входного случайного процесса и характеристик цепи. Как правило, решение задачи в общем виде наталкивается на существенные трудности. Поэтому, обычно указанную задачу сводят к определению вероятностных характеристик (математического ожидания, дисперсии, автокорреляционной функции) выходного случайного процесса. Объясняется это тем, что для практики построения и анализа радиотехнических устройств вполне достаточно знания этих характеристик.

Наиболее эффективным методом решения задачи прохождения случайного процесса через линейные цепи является спектральный метод. Напомним, что спектральный метод основывается на представлении сигнала в частотной области и знании комплексного коэффициента передачи цепи. Но если спектральный состав детерминированного сигнала определяется совокупностью комплексных амплитуд, то спектральный состав случайного сигнала определяется совокупностью значений мощности составляющих спектра, распределенных в диапазоне частот. В этом состоит особенность использования спектрального метода при анализе преобразования случайного сигнала линейной цепью.

Общая задача анализа прохождения случайного процесса через линейную цепь формулируется следующим образом. На вход линейной цепи (рис. 6.1) с комплексным коэффициентом передачи поступает случайный процесс , энергетический спектр которого (спектральная плотность мощности) равен . Необходимо найти характеристики случайного процесса на выходе линейной цепи.

Введем следующие предположения:

– входной случайный процесс является стационарным в широком смысле;

– среднее значение входного СП равно нулю, т.е. ;

– известен энергетический спектр входного процесса.

В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности эта характеристика для выходного СП будет равна

. (6.1)

Величину можно представить следующим образом

, (6.2)

где – спектр реализации случайного процесса достаточно большой (теоретически бесконечной) длительности . С другой стороны, в предположении того, что реализация известна можно записать

, (6.3)

.

Подстановка (6.3) в (6.2) дает

. (6.4)

В свою очередь, подставляя (6.4) в (6.1), получим

. (6.5)

Таким образом, энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи равен произведению энергетического спектра входного случайного процесса и квадрата амплитудно–частотной характеристики цепи.

Выражение (6.5) определяет закон преобразования СП линейной цепью. Отметим, что фазо–частотная характеристика цепи не оказывает никакого влияния на этот закон.

Автокорреляционная функция выходного СП определяется в соответствии с теоремой Винера–Хинчина

. (6.6)

Так как дисперсия (средняя мощность) численно равна значению АКФ при , то для выходного СП можно записать

. (6.7)

Если входной СП имеет математическое ожидание, отличное от нуля, то математическое ожидание выходного СП определяется следующим выражением

. (6.8)

Поскольку для рассматриваемой задачи (см. предположения), то математическое ожидание .

Как было отмечено выше, в технических расчетах вместо используют энергетический спектр , как функцию циклической частоты. В этом случае энергетический спектр СП на выходе линейной цепи определяется выражением

, (6.9)

а автокорреляционная функция

. (6.10)

Соответственно, дисперсия

. (6.11)

В дальнейшем полученные результаты будут использованы для решения конкретных задач.