При расчете переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по ЗТК и ЗНК. Затем полученная система сводится к дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной (и_С или i_L). После этого полученное уравнение решается по аналогии с уравнениями, рассмотренными в 6.2. Классический метод расчета переходных процессов, 6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка, 6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка, 6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение.

В качестве примера рассмотрим разветвленную цепь второго порядка, изображенную на рис. 6.17. Для данной цепи имеем ненулевые начальные условия: u_C(0_– ) = U; i_L(0_– ) = 0. Составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа: (6.86)

Выберем в качестве независимой переменной i₂ = i_L и, решая (6.86) относительно i₂, получаем: (6.87) т. е. выражение (6.87) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, аналогичное (6.37). Его решение, как обычно, находим в виде (6.88) где i_2np = U/(R₁ + R₂), а i_2св определим из решения однородного дифференциального уравнения (6.89)

Решение последнего имеет вид, аналогичный (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения (6.90)

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий и законов коммутации, причем для нахождения и_С используется система уравнений (6.86). Например, для случая вещественных и различных корней при R₁ = R₂ = R получим где A₁ и А₂ определяются из начальных условий и законов коммутации:

откуда

На рис. 6.18 изображены графики u_C(t) и i₂(t).

Как следует из вышеуказанного, для определения характера переходного процесса и записи уравнения свободной составляющей независимой переменной необходимо располагать характеристическим уравнением цепи. Это уравнение может быть получено из соответствующего дифференциального уравнения цепи или из анализа ее операторного сопротивления. Последнее может быть получено, если в уравнении для комплексного сопротивления цепи Z = Z(j) заменить оператор j на р и приравнять его к нулю: (6.91)

Например для цепи, изображенной на рис. 6.17, имеем:

Отсюда или после преобразований что полностью совпадает с (6.90).

Таким образом, отпадает необходимость преобразовывать систему уравнений к одному уравнению для выбранной независимой переменной.

В заключение следует отметить, что применение классического метода расчета к цепям более высокого порядка встречает определенные трудности. Главное из них резко возрастающий объем необходимых вычислений, связанных с решением задач уравнений высокого порядка. В этой связи в последнее время все большее применение находят другие методы расчета переходных процессов: метод переменных состояний, операторный и частотные методы, которые будут рассмотрены ниже.