Расчет корреляционной функции на выходе цепи:

корреляционная функция выходного сигнала – S_y(nT), S_x(nT) и S_h(nT).

Где – условное обозначение свертки.

Докажем справедливость этой формулы:

т.к. система линейная и математические операции линейные, то сигнал можно сочетать различными способами

Согласно полученному выражению энергию полученного сигнала можно получить без расчета выходного сигнала.

n = 0

Рассмотрим важный частный случай: пусть x(nT) – случайный сигнал с нулевым средним. Для такого сигнала:

S_x(nT) = S_x(0T) = W_x = σ_x² – дисперсия сигнала x(nT)

Тогда

– формула расчета выходного сигнала (применяется для расчета шумов квантования в цифровых фильтрах).

Пример: определить энергию сигнала на выходе цепи с импульсной характеристикой.

h(nT) = {1.0; 0.5} и x(nT) = {0.5; 0.5}

a) расчет энергии W_y во временной области.

Определяем y(nT) с помощью круговой свертки.

N₁ = 2; N₂ = 2; N = N₁ + N₂ –1 = 3

h(nT) = {1; 0.5; 0} x(nT) = {0.5; 0.5; 0}

n = 0 y(0T) = x(0T)·h(0T) + x(1T) ·h(-1T) + x(2T) ·h(-2T) =

= 0.5·1 + 0.5·0 + 0·0 = 0.5

n = 1 y(1T) = x(0T) ·h(1T) + x(1T) ·h(0T) + x(2T) ·h(-1T) = 0.75

n = 2 y(2T) = x(0T) ·h(2T) + x(1T) ·h(1T) + x(2T) ·h(0T) = 0.25

b) расчет энергии W_y в частотной области.

С помощью равенства Парсеваля определяем частотные отсчеты выходного сигнала по формуле прямого ДПФ.

m = 0 Y(j0ω₁) = y(0T) + y(1T) + y(2T) = 1.5

m = 1 Y(j1ω₁) = y(0T)e^{j 0} + y(1T)e^{–j 120} + y(2T)e^{–j 240} = –j0.435

m = 2 Y(j2ω₁) = y(0T)e^{j 0} + y(1T)e^{–j 240} + y(2T)e^{–j 480} = j0.435

Y(j0ω₁) = {1.5; –j0.435; j0.435}

с) расчет энергии сигнала W_y по корреляционным функциям S_x(nT) и S_h(nT).

x(nT) = {0.5; 0.5}; h(nT) = {1.0; 0.5}

N₁ = 2; N₂ = 2; N = N₂ + N₁ – 1 = 3

x(nT) = {0.5; 0.5; 0}

n = 0; S_x(0T) = x(0T)·x(0T) + x(1T) ·x(1T) + x(2T) ·x(2T) =

= 0.5·0.5 + 0.5·0.5 + 0·0 = 0.5

n = 1; S_x(1T) = x(0T)·x(1T) + x(1T) ·x(2T) + x(2T) ·x(3T) = 0.25

n = 2; S_x(2T) = x(0T)·x(2T) + x(1T) ·x(3T) + x(2T) ·x(4T) = 0.25

S_x(nT) = {0.5; 0.25; 0.25}

S_h(nT) = {1.25; 0.5; 0.5}

N₁ = 3; N₂ = 3; N = N₁ + N₂ – 1 = 5

Периоды корреляционных функций, участвующих в свертке, нужно увеличить таким образом, чтобы четный характер корреляционной функции сохранился.

Исходная периодическая последовательность для S_x(nT) (период =3)

Последовательность после увеличения периода (период = 5):

В результате выравнивания периода получаем:

S_x(nT) = {0.5; 0.25; 0; 0; 0.25}

S_h(nT) = {1.25; 0.5; 0; 0; 0.5}

n = 0; S_y(0T) = W_y = S_x(0T)·S_h(0T) + S_x(1T)·S_h(-1T) + S_x(2T)·S_h(-2T) +

+ S_x(3T)·S_h(-3T) + S_x(4T)·S_h(-4T) = 0.5·1.25 + 0.25·0.5 + 0·0 + 0·0 + 0.25·0.5 =

= 0.625 + 0.125 + 0.125 = 0.875

W_y = 0.875