2.1. Вектор. Линейные операции над векторами

2.1.1. Геометрический вектор. Понятие вектора

2.1.2. Линейные операции над векторами

2.1.3. Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости

2.1.4. Теорема о линейной зависимости двух векторов

2.2. Произведение векторов

2.2.1. Скалярное произведение векторов

2.2.2. Векторное произведение векторов

2.2.3. Смешанное произведение векторов

2.1. Вектор. Линейные операции над векторами

2.1.1. Геометрический вектор. Понятие вектора

Вектор:
отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

Обозначается:

Два вектора равны, если они совпадают при параллельном переносе.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

2.1.2. Линейные операции над векторами

А) Умножение вектора на число.

Б) Сложение векторов

1)

2)

3) - длину вектора умножить на и оставить направление вектора если

Таким образом операции обладают св-ми.

1)

2)

Вектор у которого начало и конец совпадают есть нулевой вектор

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Вычитание - обратное сложению.

2.1.3. Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если сущ. числа не все равные 0, такие что (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа =0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов

Определение 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теорема 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Доказательство. Пусть , тогда

Теорема 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Доказательство. Т.К. система векторов линейно зависима, то есть не все равные нулю, такие что (2) (3)

(4)

Есть ,

0 - не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.

2.1.4. Теорема о линейной зависимости двух векторов

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство.

- коллинеарны

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Доказательство.

Для и пл-ть , что (или
//) и либо ,
либо // ей они компланарны.

Теорема. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Доказательство.

-угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная система линейно независимых векторов.

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных единичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

-нач.точка - кон.точка

направляющие косинусы

2.2. Произведение векторов

2.2.1. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов наз-ся скалярное произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если вектор нулевой, то все произведения - ноль

Свойства скалярного произведения

1. 1. Если и ортогональны ,
      то
   2. если ; если
   3. (коммутативность)
   4. (дистрибутивность)
   5. 
   6. ==

(скалярное произведение в координатах)

Условие ортогональности векторов

Условие коллинеарности векторов

Скалярный квадрат

2.2.2. Векторное произведение векторов

Ориентация базиса

Декартов прямоугольный базис на плоскости

Декартов прямоугольный базис в пространстве

Правой тройкой векторов называется такая тройка, что если смотреть с конца вектора , то поворот от происходит в положительном направлении (против часовой стрелки).

Определение: Векторным произведением, 2-х векторов называется вектор , такой что

1) - правая тройка

2)

3)

Свойства векторного произведения

1. 1. Если 2 вектора коллинеарны, их произведение =0

1. 1. Если поменять местами сомножители, меняется знак

(антикоммутативность)

1. 
2. 
3. 

Пример.

2.2.3. Смешанное произведение векторов

===

Свойства смешанного произведения

1. 
2. 
3.